Estude a integrabilidade das funções dadas.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre integrabilidade de funções. A função que precisamos estudar é:
E a gente quer saber se essa função é integrável no conjunto B definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrabilidade de funções em duas variáveis, especialmente considerando onde a função pode ter problemas de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o conjunto B. A equação
representa um círculo no plano xy. Podemos reescrever isso completando o quadrado:
Então, B é um círculo com centro em (1, 0) e raio 1. Isso ajuda a visualizar onde a função está definida.
Passo 3
Agora, vamos analisar onde a função f(x, y) pode não ser contínua. A função tem duas partes:
-
Quando
: Aqui, temos . A função cosseno é contínua onde está definida, mas o argumento pode causar problemas se se aproximar de zero. -
Quando
: Aqui, . Essa é a parte onde a função pode não ser contínua.
Então, os possíveis pontos de descontinuidade são onde
. Vamos chamar essa linha de L.
Passo 4
Para verificar a integrabilidade, precisamos ver se a função é limitada e se as descontinuidades não “ocupam espaço” no conjunto B. A função cosseno está sempre entre -1 e 1, então f(x, y) está limitada.
Agora, a gente precisa ver o que acontece na linha L:
. Dentro do conjunto B, essa é uma reta curva. Em termos de medida, uma linha tem medida de área zero no plano.
Passo 5
Segundo o Teorema de Riemann, uma função limitada em um conjunto compacto (como nosso B) é integrável se o conjunto de pontos de descontinuidade tem medida zero. No nosso caso, a única possível descontinuidade está na linha L, que tem medida zero.
Portanto, a função f(x, y) é Riemann integrável no conjunto B.
Resposta
A função
é integrável no conjunto
.
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. Faça um esboço da região de integração.
e
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. Faça um esboço da região de integração.
e
é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1 .