Estude a integrabilidade das funções dadas. f(x, y)=llcos (1x^2-2 x-y), & se x^2-2 x-y neq 0, 0, & caso contrário, á em B: x^2+y^2 <= 2 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre integrabilidade de funções. A função que precisamos estudar é:
f(x, y) = cos (1x^2 - 2x - y), & se x^2 - 2x - y neq 0, 0, & caso contrário á
E a gente quer saber se essa função é integrável no conjunto B definido por:
B: x^2 + y^2 <= 2x
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrabilidade de funções em duas variáveis, especialmente considerando onde a função pode ter problemas de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o conjunto B. A equação x^2 + y^2 <= 2x representa um círculo no plano xy. Podemos reescrever isso completando o quadrado:
x^2 - 2x + y^2 <= 0 (x - 1)^2 + y^2 <= 1
Então, B é um círculo com centro em (1, 0) e raio 1. Isso ajuda a visualizar onde a função está definida.

Passo 3

Agora, vamos analisar onde a função f(x, y) pode não ser contínua. A função tem duas partes:
  1. Quando x^2 - 2x - y neq 0: Aqui, temos f(x, y) = cos(1x^2 - 2x - y). A função cosseno é contínua onde está definida, mas o argumento 1x^2 - 2x - y pode causar problemas se x^2 - 2x - y se aproximar de zero.
  2. Quando x^2 - 2x - y = 0: Aqui, f(x, y) = 0. Essa é a parte onde a função pode não ser contínua.
Então, os possíveis pontos de descontinuidade são onde x^2 - 2x - y = 0. Vamos chamar essa linha de L.

Passo 4

Para verificar a integrabilidade, precisamos ver se a função é limitada e se as descontinuidades não “ocupam espaço” no conjunto B. A função cosseno está sempre entre -1 e 1, então f(x, y) está limitada.
Agora, a gente precisa ver o que acontece na linha L: x^2 - 2x - y = 0. Dentro do conjunto B, essa é uma reta curva. Em termos de medida, uma linha tem medida de área zero no plano.

Passo 5

Segundo o Teorema de Riemann, uma função limitada em um conjunto compacto (como nosso B) é integrável se o conjunto de pontos de descontinuidade tem medida zero. No nosso caso, a única possível descontinuidade está na linha L, que tem medida zero.
Portanto, a função f(x, y) é Riemann integrável no conjunto B.

Resposta

A função f(x, y) é integrável no conjunto B: x^2 + y^2 <= 2x.

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