Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla onde e a região é definida por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e mudança de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A desigualdade descreve um losango (ou diamante) centrado na origem com vértices em , , e . Isso ajuda a visualizar onde iremos integrar a função.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
Com isso, precisamos encontrar o determinante Jacobiano para essa transformação.
Passo 4
Calculando o Jacobiano:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =
= (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2
]
O valor absoluto do Jacobiano é .
Passo 5
Com a mudança de variável, a função fica:
E a área diferencial transforma-se em:
Passo 6
Agora, vamos reescrever a região em termos de e . A condição se transforma em , já que . Portanto, varia de a , e para cada , varia de a .
Passo 7
Montando a integral com as novas variáveis:
Vamos simplificar:
Passo 8
Sabemos que a integral de pode ser resolvida usando a identidade :
Aplicando isso nos limites de a :
Passo 9
Substituindo de volta na integral principal:
Observando que por ser uma função ímpar multiplicada por função par, simplificamos para:
Passo 10
Calculando a última integral:
Isso porque é uma função ímpar e a integral em torno de um intervalo simétrico em torno de zero de uma função ímpar é zero.