Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=(x+y)^2 sen^2(x-y) e B:|x|+|y| <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla onde e a região é definida por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e mudança de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . A desigualdade descreve um losango (ou diamante) centrado na origem com vértices em , , e . Isso ajuda a visualizar onde iremos integrar a função.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
u = x + y e v = x - y
Com isso, precisamos encontrar o determinante Jacobiano para essa transformação.

Passo 4

Calculando o Jacobiano:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =
partial(u, v)partial(x, y) = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y = 1 & 1 1 & -1 = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2


= (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2
]
O valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 5

Com a mudança de variável, a função f(x, y) = u^2 cdot sin^2(v) fica:
dx , dy = 12 du , dv
E a área diferencial transforma-se em:

Passo 6

Agora, vamos reescrever a região em termos de e . A condição se transforma em , já que . Portanto, varia de a , e para cada , varia de a .

Passo 7

Montando a integral com as novas variáveis:
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral- pi^pi integral-u^u u^2 cdot sin^2(v) cdot 12 , dv , du
Vamos simplificar:
= 12 integral- pi^pi u^2 ( integral-u^u sin^2(v) , dv ) du

Passo 8

Sabemos que a integral de integral sin^2(v) , dv = v2 - sin(2v)4 + C pode ser resolvida usando a identidade integral-u^u sin^2(v) , dv = [ v2 - sin(2v)4 ]-u^u = u2 - sin(2u)4 - ( -u2 + sin(-2u)4 ) = u - sin(2u)2 :
Aplicando isso nos limites de a :

Passo 9

Substituindo de volta na integral principal:
12 integral- pi^pi u^2 ( u - sin(2u)2 ) du = 12 ( integral- pi^pi u^3 , du - 12 integral- pi^pi u^2 sin(2u) , du )
Observando que 12 integral- pi^pi u^3 , du por ser uma função ímpar multiplicada por função par, simplificamos para:

Passo 10

Calculando a última integral:
integral- pi^pi u^3 , du = 0
Isso porque é uma função ímpar e a integral em torno de um intervalo simétrico em torno de zero de uma função ímpar é zero.

Resposta

A integral é igual a .

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