Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla onde e a região é definida por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e mudança de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A desigualdade descreve um losango (ou diamante) centrado na origem com vértices em , , e . Isso ajuda a visualizar onde iremos integrar a função.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
Com isso, precisamos encontrar o determinante Jacobiano para essa transformação.
Passo 4
Calculando o Jacobiano:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =
= (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2
]
O valor absoluto do Jacobiano é .
Passo 5
Com a mudança de variável, a função f(x, y) = u^2 cdot sin^2(v) fica:
dx , dy = 12 du , dv
E a área diferencial transforma-se em:
Passo 6
Agora, vamos reescrever a região em termos de e . A condição se transforma em , já que . Portanto, varia de a , e para cada , varia de a .
Passo 7
Montando a integral com as novas variáveis:
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral- pi^pi integral-u^u u^2 cdot sin^2(v) cdot 12 , dv , du
Vamos simplificar:
= 12 integral- pi^pi u^2 ( integral-u^u sin^2(v) , dv ) du
Passo 8
Sabemos que a integral de integral sin^2(v) , dv = v2 - sin(2v)4 + C pode ser resolvida usando a identidade integral-u^u sin^2(v) , dv = [ v2 - sin(2v)4 ]-u^u = u2 - sin(2u)4 - ( -u2 + sin(-2u)4 ) = u - sin(2u)2 :
Aplicando isso nos limites de a :
Passo 9
Substituindo de volta na integral principal:
12 integral- pi^pi u^2 ( u - sin(2u)2 ) du = 12 ( integral- pi^pi u^3 , du - 12 integral- pi^pi u^2 sin(2u) , du )
Observando que 12 integral- pi^pi u^3 , du por ser uma função ímpar multiplicada por função par, simplificamos para:
Passo 10
Calculando a última integral:
integral- pi^pi u^3 , du = 0
Isso porque é uma função ímpar e a integral em torno de um intervalo simétrico em torno de zero de uma função ímpar é zero.