Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla onde e a região é definida por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e mudança de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . A desigualdade descreve um losango (ou diamante) centrado na origem com vértices em , , e . Isso ajuda a visualizar onde iremos integrar a função.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
Com isso, precisamos encontrar o determinante Jacobiano para essa transformação.

Passo 4

Calculando o Jacobiano:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =


= (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2
]
O valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 5

Com a mudança de variável, a função fica:
E a área diferencial transforma-se em:

Passo 6

Agora, vamos reescrever a região em termos de e . A condição se transforma em , já que . Portanto, varia de a , e para cada , varia de a .

Passo 7

Montando a integral com as novas variáveis:
Vamos simplificar:

Passo 8

Sabemos que a integral de pode ser resolvida usando a identidade :
Aplicando isso nos limites de a :

Passo 9

Substituindo de volta na integral principal:
Observando que por ser uma função ímpar multiplicada por função par, simplificamos para:

Passo 10

Calculando a última integral:
Isso porque é uma função ímpar e a integral em torno de um intervalo simétrico em torno de zero de uma função ímpar é zero.

Resposta

A integral é igual a .

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