Considere a região formada pelos pontos que estão fora da circunferência
1 e dentro da cardióide
. Use coordenadas polares com pólo em
, para calcular a área da região descrita.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a área da região que está fora de uma circunferência específica e dentro de uma cardióide usando coordenadas polares. Isso envolve um pouco de cálculo integral e entendimento de coordenadas polares, que são super úteis para lidar com curvas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que temos:
-
Circunferência:
-
Cardióide:
Como a circunferência está dada em coordenadas cartesianas, precisamos convertê-la para coordenadas polares para facilitar a comparação e o cálculo da área. Lembrando que:
Passo 3
Vamos converter a equação da circunferência para coordenadas polares:
Então, a circunferência em coordenadas polares é
.
Passo 4
Agora, temos as duas curvas em coordenadas polares:
-
Circunferência:
-
Cardióide:
Precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas duas curvas para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Então, elas se intersectam quando
.
Passo 5
Para calcular a área da região desejada, vamos integrar a diferença entre as áreas dessas curvas. A fórmula para a área em coordenadas polares entre
e
é:
Aqui, a cardióide
está dentro da circunferência
para
. Logo, a área que queremos é a área dentro da cardióide e fora da circunferência.
Passo 6
Vamos definir os limites de integração de
a
para cobrir toda a região. Porém, como identificamos que a interseção ocorre em
, a área total será:
Simplificando as expressões dentro da integral:
Então:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando isso:
Ao substituir os limites de
a
, as funções seno anulam e sobra apenas:
Resposta
A área da região descrita é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Suponha
contínua em
. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.
Calcule o volume dos sólidos dados.
e
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.