Considere a região formada pelos pontos que estão fora da circunferência 1 e dentro da cardióide . Use coordenadas polares com pólo em , para calcular a área da região descrita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a área da região que está fora de uma circunferência específica e dentro de uma cardióide usando coordenadas polares. Isso envolve um pouco de cálculo integral e entendimento de coordenadas polares, que são super úteis para lidar com curvas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
  • Circunferência:
  • Cardióide:
Como a circunferência está dada em coordenadas cartesianas, precisamos convertê-la para coordenadas polares para facilitar a comparação e o cálculo da área. Lembrando que:

Passo 3

Vamos converter a equação da circunferência para coordenadas polares:
Então, a circunferência em coordenadas polares é .

Passo 4

Agora, temos as duas curvas em coordenadas polares:
  • Circunferência:
  • Cardióide:
Precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas duas curvas para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Então, elas se intersectam quando .

Passo 5

Para calcular a área da região desejada, vamos integrar a diferença entre as áreas dessas curvas. A fórmula para a área em coordenadas polares entre e é:
Aqui, a cardióide está dentro da circunferência para . Logo, a área que queremos é a área dentro da cardióide e fora da circunferência.

Passo 6

Vamos definir os limites de integração de a para cobrir toda a região. Porém, como identificamos que a interseção ocorre em , a área total será:
Simplificando as expressões dentro da integral:
Então:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando isso:
Ao substituir os limites de a , as funções seno anulam e sobra apenas:

Resposta

A área da região descrita é unidades de área.

Exercícios relacionados

Suponha contínua em . Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.
Calcule o volume dos sólidos dados. e
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e e .
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .