Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica. e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado pede para calcular o volume de um sólido definido por duas condições: uma inequação envolvendo e , e limites para . Além disso, temos que fazer uma representação gráfica desse sólido.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integrando em coordenadas cartesianas e talvez passando para coordenadas polares, já que temos uma expressão quadrática em e . Vamos precisar entender bem como definir os limites de integração para , e com base nas condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a inequação . Podemos reorganizar essa expressão para identificar a região no plano :
Completando o quadrado para :
Isso nos mostra que a região é um círculo com centro em e raio 1.

Passo 3

Agora, vamos entender os limites para . A condição dada é:
Isso significa que, para cada ponto dentro do círculo que encontramos, varia de 0 até a raiz quadrada de . Essa expressão representa a distância do ponto até o ponto no plano .

Passo 4

Para calcular o volume do sólido, vamos configurar uma integral tripla sobre a região definida. Em coordenadas cartesianas, a integral fica assim:
Onde é a região dentro do círculo .

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas. Como o círculo está centrado em , será conveniente fazer a substituição:
Com isso, a inequação se transforma em:
E varia de a .

Passo 6

Agora, expressamos a integral em coordenadas polares deslocadas:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida por substituição ou métodos numéricos, mas para simplificar, notamos que a expressão dentro da raiz é simétrica e podemos calcular a integral interna primeiro:
Após resolver a integral interna e depois a externa, obteremos o valor do volume.

Resposta

O volume do sólido definido é .

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