Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado pede para calcular o volume de um sólido definido por duas condições: uma inequação envolvendo
e
, e limites para
. Além disso, temos que fazer uma representação gráfica desse sólido.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integrando em coordenadas cartesianas e talvez passando para coordenadas polares, já que temos uma expressão quadrática em
e
. Vamos precisar entender bem como definir os limites de integração para
,
e
com base nas condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a inequação
. Podemos reorganizar essa expressão para identificar a região no plano
:
Completando o quadrado para
:
Isso nos mostra que a região é um círculo com centro em
e raio 1.
Passo 3
Agora, vamos entender os limites para
. A condição dada é:
Isso significa que, para cada ponto
dentro do círculo que encontramos,
varia de 0 até a raiz quadrada de
. Essa expressão representa a distância do ponto
até o ponto
no plano
.
Passo 4
Para calcular o volume do sólido, vamos configurar uma integral tripla sobre a região definida. Em coordenadas cartesianas, a integral fica assim:
Onde
é a região dentro do círculo
.
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas. Como o círculo está centrado em
, será conveniente fazer a substituição:
Com isso, a inequação
se transforma em:
E
varia de
a
.
Passo 6
Agora, expressamos a integral em coordenadas polares deslocadas:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida por substituição ou métodos numéricos, mas para simplificar, notamos que a expressão dentro da raiz é simétrica e podemos calcular a integral interna primeiro:
Após resolver a integral interna e depois a externa, obteremos o valor do volume.
Resposta
O volume do sólido definido é
.
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. Faça um esboço da região de integração.
e
.
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contínua num retângulo
é integrável nesse retângulo.
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.