Mostre que toda função
contínua num retângulo
é integrável nesse retângulo.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é contínua em um retângulo definido pelo intervalo
. O objetivo é mostrar que essa função é integrável nesse retângulo. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e o que é integrabilidade em duas variáveis.
Passo 2
Vamos começar lembrando que uma função contínua em um retângulo compacto (fechado e limitado) em
tem a propriedade de ser uniformemente contínua. Isso significa que, dado qualquer
, existe um
tal que, se as diferenças em
e
forem menores que
, a diferença na função será menor que
.
Passo 3
Para provar que
é integrável, vamos utilizar a definição de integrabilidade de Riemann para funções de duas variáveis. Isso envolve mostrar que, para qualquer
, podemos encontrar uma partição do retângulo
tal que a diferença entre a soma de Riemann superior e a soma de Riemann inferior seja menor que
.
Passo 4
Dado que
é contínua e, portanto, uniformemente contínua no retângulo, podemos dividir o retângulo em sub-retângulos menores onde a variação de
em cada sub-retângulo é menor que
dividida pela área total do retângulo. Dessa forma, a diferença entre os valores máximos e mínimos de
em cada sub-retângulo será pequena o suficiente para que a diferença entre as somas superior e inferior seja menor que
.
Passo 5
Com isso, garantimos que existe uma partição do retângulo onde a diferença entre as somas de Riemann é menor que qualquer
. Segundo a definição de integrabilidade de Riemann, isso prova que a função
é integrável no retângulo
.
Resposta
Toda função contínua
em um retângulo
é integrável nesse retângulo.
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