Mostre que toda função contínua num retângulo é integrável nesse retângulo.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que é contínua em um retângulo definido pelo intervalo . O objetivo é mostrar que essa função é integrável nesse retângulo. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e o que é integrabilidade em duas variáveis.

Passo 2

Vamos começar lembrando que uma função contínua em um retângulo compacto (fechado e limitado) em tem a propriedade de ser uniformemente contínua. Isso significa que, dado qualquer , existe um tal que, se as diferenças em e forem menores que , a diferença na função será menor que .

Passo 3

Para provar que é integrável, vamos utilizar a definição de integrabilidade de Riemann para funções de duas variáveis. Isso envolve mostrar que, para qualquer , podemos encontrar uma partição do retângulo tal que a diferença entre a soma de Riemann superior e a soma de Riemann inferior seja menor que .

Passo 4

Dado que é contínua e, portanto, uniformemente contínua no retângulo, podemos dividir o retângulo em sub-retângulos menores onde a variação de em cada sub-retângulo é menor que dividida pela área total do retângulo. Dessa forma, a diferença entre os valores máximos e mínimos de em cada sub-retângulo será pequena o suficiente para que a diferença entre as somas superior e inferior seja menor que .

Passo 5

Com isso, garantimos que existe uma partição do retângulo onde a diferença entre as somas de Riemann é menor que qualquer . Segundo a definição de integrabilidade de Riemann, isso prova que a função é integrável no retângulo .

Resposta

Toda função contínua em um retângulo é integrável nesse retângulo.

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