Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla , onde . Além disso, temos que fazer um esboço da região de integração , que é definida por e . Vamos usar o que aprendemos sobre integrais duplas e coordenadas polares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Temos que varia de 1 a 2. Para cada valor de , varia de até . Isso descreve uma área entre duas retas: e , para entre 1 e 2. Vamos esboçar isso rapidamente.
Passo 3
Ao esboçar, vemos que as retas e formam um ângulo de graus entre si (já que ). A região é um setor entre essas duas retas, começando em e terminando em .
Passo 4
Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a função fica mais simples nessa forma. Lembrando que em coordenadas polares, e , e .
Passo 5
Vamos determinar os limites para e na região . A partir das equações das retas:
implica ou rad.
implica ou rad.
Para entre 1 e 2, em coordenadas polares isso significa que varia de 1 a 2. Então, para cada , varia de a .
Passo 6
Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
Explicando: se torna e multiplicamos por do Jacobiano.