Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla , onde . Além disso, temos que fazer um esboço da região de integração , que é definida por e . Vamos usar o que aprendemos sobre integrais duplas e coordenadas polares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos que varia de 1 a 2. Para cada valor de , varia de até . Isso descreve uma área entre duas retas: e , para entre 1 e 2. Vamos esboçar isso rapidamente.

Passo 3

Ao esboçar, vemos que as retas e formam um ângulo de graus entre si (já que ). A região é um setor entre essas duas retas, começando em e terminando em .

Passo 4

Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a função fica mais simples nessa forma. Lembrando que em coordenadas polares, e , e .

Passo 5

Vamos determinar os limites para e na região . A partir das equações das retas:
  • implica ou rad.
  • implica ou rad.
Para entre 1 e 2, em coordenadas polares isso significa que varia de 1 a 2. Então, para cada , varia de a .

Passo 6

Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
Explicando: se torna e multiplicamos por do Jacobiano.

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:
Perceba que o termo envolvendo se cancela.

Passo 8

Agora, a integral ficou mais simples:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Considere a região formada pelos pontos que estão fora da circunferência 1 e dentro da cardióide . Use coordenadas polares com pólo em , para calcular a área da região descrita.
Suponha contínua em . Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica. e .