Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=1x^2+y^2 e B: 1 <= x <= 2 e x <= y <= raiz3 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y) = 1x^2+y^2. Além disso, temos que fazer um esboço da região de integração B, que é definida por 1 <= x <= 2 e x <= y <= raiz3x. Vamos usar o que aprendemos sobre integrais duplas e coordenadas polares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. Temos que x varia de 1 a 2. Para cada valor de x, y varia de x até raiz3x. Isso descreve uma área entre duas retas: y = x e y = raiz3x, para x entre 1 e 2. Vamos esboçar isso rapidamente.

Passo 3

Ao esboçar, vemos que as retas y = x e y = raiz3x formam um ângulo de 60 graus entre si (já que tan^-1(raiz3) = 60^circ). A região B é um setor entre essas duas retas, começando em x=1 e terminando em x=2.

Passo 4

Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a função f(x, y) = 1x^2+y^2 fica mais simples nessa forma. Lembrando que em coordenadas polares, x = rcostheta e y = rsintheta, e dx,dy = r,dr,dtheta.

Passo 5

Vamos determinar os limites para r e theta na região B. A partir das equações das retas:
  • y = x implica theta = 45^circ ou theta = pi4 rad.
  • y = raiz3x implica theta = 60^circ ou theta = pi3 rad.
Para x entre 1 e 2, em coordenadas polares isso significa que rcostheta varia de 1 a 2. Então, para cada theta, r varia de 1costheta a 2costheta.

Passo 6

Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
integral duplaB 1x^2+y^2 , dx , dy = integralpi4^pi3 integral1costheta^2costheta 1r^2 cdot r , dr , dtheta = integralpi4^pi3 integral1costheta^2costheta 1r , dr , dtheta
Explicando: 1x^2+y^2 se torna 1r^2 e multiplicamos por r do Jacobiano.

Passo 7

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integral1costheta^2costheta 1r , dr = ln r |1costheta^2costheta = ln(2costheta) - ln(1costheta) = ln 2
Perceba que o termo envolvendo costheta se cancela.

Passo 8

Agora, a integral ficou mais simples:
integralpi4^pi3 ln 2 , dtheta = ln 2 cdot (pi3 - pi4) = ln 2 cdot (4pi - 3pi12) = ln 2 cdot pi12 = pi ln 212

Resposta

O valor da integral dupla é pi ln 212.

Exercícios relacionados