Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y)=x y+y^2 e B é a região do primeiro quadrante que está delimitada pelas hipérboles x y=1, x y=3 e pelas retas y=x e y=2 x. Use a mudança u=x y e v=y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde . A região está no primeiro quadrante e é delimitada pelas hipérboles e , além das retas e . Para facilitar, vamos usar a mudança de variáveis e . Vamos precisar entender como fazer essa substituição e calcular o Jacobiano para transformar a integral. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Como está no primeiro quadrante, e são positivos. As hipérboles e nos dão os limites para , já que . As retas e nos dão os limites para em termos de .

Passo 3

Agora, vamos fazer a mudança de variáveis. Definimos:
u = x y e v = y
Precisamos expressar x = uv e em termos de e . Já temos , então de temos:
Assim, as novas variáveis são e .

Passo 4

Para mudar a integral para as novas variáveis, precisamos calcular o Jacobiano da transformação. O Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado por:
partial xpartial u = 1v, partial xpartial v = -uv^2, partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 1
Calculando as derivadas:
J = (1v times 1) - (-uv^2 times 0) = 1v
Então:
O valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 5

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de 1 <= u <= 3 e 1 <= v <= 2 e .
  • As hipérboles e correspondem a e .
  • As retas e podem ser reescritas como e . Usando e :
    • Para :
    • Para : , mas como já mudamos as variáveis, vamos manter os limites para .
Observando que varia entre as interseções das hipérboles e retas:
  • Quando :
    • , então . Substituindo , temos , ou seja, (como está no primeiro quadrante). Então, varia de a (porque na reta , para , quando , ).
Portanto, os limites são:

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaB (x y + y^2) , dx , dy = integralv=1^2 integralu=1^3 ( uv times v + v^2 ) times 1v , du , dv e ( u + v^2 ) times 1v = uv + v :
integral1^2 integral1^3 ( uv + v ) , du , dv
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em relação a integral1^3 ( uv + v ) , du = 1v integral1^3 u , du + v integral1^3 du = 1v [ u^22 ]1^3 + v (3 - 1) :
1v ( 92 - 12 ) + v times 2 = 1v times 4 = 4v
Calculando:
integral1^2 4v , dv = 4 integral1^2 1v , dv = 4 [ln v]1^2 = 4 (ln 2 - ln 1) = 4 ln 2
Então, a integral se reduz a:

Resposta

A integral dupla vale .

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