Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e é a região do primeiro quadrante que está delimitada pelas hipérboles e pelas retas e . Use a mudança e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde . A região está no primeiro quadrante e é delimitada pelas hipérboles e , além das retas e . Para facilitar, vamos usar a mudança de variáveis e . Vamos precisar entender como fazer essa substituição e calcular o Jacobiano para transformar a integral. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Como está no primeiro quadrante, e são positivos. As hipérboles e nos dão os limites para , já que . As retas e nos dão os limites para em termos de .
Passo 3
Agora, vamos fazer a mudança de variáveis. Definimos:
Precisamos expressar e em termos de e . Já temos , então de temos:
Assim, as novas variáveis são e .
Passo 4
Para mudar a integral para as novas variáveis, precisamos calcular o Jacobiano da transformação. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas:
J = (1v times 1) - (-uv^2 times 0) = 1v
Então:
O valor absoluto do Jacobiano é .
Passo 5
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de 1 <= u <= 3 e 1 <= v <= 2 e .
As hipérboles e correspondem a e .
As retas e podem ser reescritas como e . Usando e :
Para :
Para : , mas como já mudamos as variáveis, vamos manter os limites para .
Observando que varia entre as interseções das hipérboles e retas:
Quando :
, então . Substituindo , temos , ou seja, (como está no primeiro quadrante). Então, varia de a (porque na reta , para , quando , ).
Portanto, os limites são:
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaB (x y + y^2) , dx , dy = integralv=1^2 integralu=1^3 ( uv times v + v^2 ) times 1v , du , dv e ( u + v^2 ) times 1v = uv + v :
integral1^2 integral1^3 ( uv + v ) , du , dv
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral interna em relação a integral1^3 ( uv + v ) , du = 1v integral1^3 u , du + v integral1^3 du = 1v [ u^22 ]1^3 + v (3 - 1) :