Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica.
S : pontos externos ao cilindro x^2 + y^2 = 4, que estão dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular o volume de um sólido que é formado pelos pontos que estão fora do cilindro e dentro da esfera . Para resolver isso, vamos usar cálculo em coordenadas cilíndricas, que facilita bastante quando lidamos com cilindros e esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dadas:
  • Cilindro: . Isso significa que o raio do cilindro é .
  • Esfera: . O raio da esfera é .
Como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas ( ), onde , é mais fácil definir os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido , precisamos integrar em cilindros concêntricos que vão de até (já que estamos fora do cilindro de raio 2 e dentro da esfera de raio 4). O ângulo vai de a para cobrir toda a volta, e varia de a , que são os limites superiores e inferiores da esfera para cada .
A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos isso na integral:
Vamos resolver a integral em . Para isso, usamos uma substituição:
Substituindo na integral:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y)=ln (x^2+y^2)+1 e B a região compreendida entre x^2+y^2=1 e x^2+y^2=e.
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f(x, y)=x y+y^2 e B é a região do primeiro quadrante que está delimitada pelas hipérboles x y=1, x y=3 e pelas retas y=x e y=2 x. Use a mudança u=x y e v=y.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
f(x, y) = 5 ln(x^2 + y^2)
Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
f(x, y) = (x + y - 4) / (raiz(x + y) - 2) no(2, 2)