Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica. : pontos externos ao cilindro , que estão dentro da esfera .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular o volume de um sólido que é formado pelos pontos que estão fora do cilindro e dentro da esfera . Para resolver isso, vamos usar cálculo em coordenadas cilíndricas, que facilita bastante quando lidamos com cilindros e esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dadas:
Cilindro: . Isso significa que o raio do cilindro é .
Esfera: . O raio da esfera é .
Como estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas (), onde , é mais fácil definir os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar o volume do sólido , precisamos integrar em cilindros concêntricos que vão de até (já que estamos fora do cilindro de raio 2 e dentro da esfera de raio 4). O ângulo vai de a para cobrir toda a volta, e varia de a , que são os limites superiores e inferiores da esfera para cada .
A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos isso na integral:
Vamos resolver a integral em . Para isso, usamos uma substituição: