Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
a região compreendida entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
onde
e a região
é entre os círculos
e
. Esse problema envolve cálculo de integrais duplas e geometria das regiões no plano. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que facilitam quando lidamos com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela está entre dois círculos concêntricos: um de raio
(já que
) e outro de raio
(porque
). Então, na coordenada polar, onde
é a distância do ponto até a origem,
varia de
a
. O ângulo
completa uma volta completa, de
a
.
Passo 3
Vamos converter a função
para coordenadas polares. Sabemos que
, então:
Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, a área diferencial
se transforma em
. Portanto, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Expandindo a expressão:
Para a primeira parte,
, usamos integração por partes onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando:
Simplificando:
Para a segunda parte,
.
Então, juntando tudo:
Avaliado de
a
:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
é a região do primeiro quadrante que está delimitada pelas hipérboles
e pelas retas
e
. Use a mudança
e
.
Mostre que se
e
é um conjunto de conteúdo nulo, então
é um conjunto de conteúdo nulo.
Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica.
: pontos externos ao cilindro
, que estão dentro da esfera
.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.