Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y)=ln (x^2+y^2)+1 e B a região compreendida entre x^2+y^2=1 e x^2+y^2=e.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy onde f(x, y) = ln(x^2 + y^2) + 1 e a região B é entre os círculos x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = e. Esse problema envolve cálculo de integrais duplas e geometria das regiões no plano. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que facilitam quando lidamos com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração B. Ela está entre dois círculos concêntricos: um de raio 1 (já que x^2 + y^2 = 1) e outro de raio raize (porque x^2 + y^2 = e). Então, na coordenada polar, onde r é a distância do ponto até a origem, r varia de 1 a raize. O ângulo theta completa uma volta completa, de 0 a 2pi.

Passo 3

Vamos converter a função f(x, y) para coordenadas polares. Sabemos que x^2 + y^2 = r^2, então:
f(x, y) = ln(r^2) + 1 = 2ln r + 1
Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, a área diferencial dx , dy se transforma em r , dr , dtheta. Portanto, a integral fica:
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral0^2pi integral1^raize (2ln r + 1) , r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r. Expandindo a expressão:
integral1^raize (2ln r + 1) , r , dr = 2integral1^raize r ln r , dr + integral1^raize r , dr
Para a primeira parte, 2integral r ln r , dr, usamos integração por partes onde:
  • u = ln r du = 1r dr
  • dv = r , dr v = r^22
Aplicando:
2[ r^22 ln r - integral r^22 cdot 1r dr ] = 2[ r^22 ln r - 12 integral r , dr ] = 2[ r^22 ln r - r^24 ]
Simplificando:
r^2 ln r - r^22
Para a segunda parte, integral r , dr = r^22.
Então, juntando tudo:
r^2 ln r - r^22 + r^22 = r^2 ln r
Avaliado de 1 a raize:
( (raize)^2 ln raize ) - (1^2 ln 1 ) = (e)(ln e^1/2) - 0 = e ( 12 ln e ) = e cdot 12 cdot 1 = e2

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^2pi e2 , dtheta = e2 cdot 2pi = epi

Resposta

O valor da integral dupla é epi.

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