Mostre que se A ⊆ B e B é um conjunto de conteúdo nulo, então A é um conjunto de conteúdo nulo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois conjuntos, e , onde está dentro de ( ). Além disso, é um conjunto de conteúdo nulo, ou seja, tem medida de Lebesgue igual a zero. O objetivo é mostrar que, se tem conteúdo nulo, então qualquer conjunto que está dentro de também tem conteúdo nulo. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de medida de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ter conteúdo nulo. Em termos de medida de Lebesgue, um conjunto tem conteúdo nulo se a medida de é zero, ou seja, . Isso quer dizer que, apesar do conjunto poder ter infinitos pontos, ele ocupa “nenhum espaço” na linha real.

Passo 3

Agora, sabemos que e . Como está dentro de , todo elemento de também está em . Vamos usar a propriedade de monotonicidade da medida: se um conjunto está dentro de outro, a medida do conjunto menor é menor ou igual à medida do conjunto maior. Matematicamente, isso é expresso como:

Passo 4

Sabendo que e usando a desigualdade acima, temos:
Como medidas são sempre não negativas, concluímos que:
Portanto, também tem conteúdo nulo.

Resposta

Assim, mostramos que se e é um conjunto de conteúdo nulo, então também é um conjunto de conteúdo nulo, ou seja, .

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