Mostre que se
e
é um conjunto de conteúdo nulo, então
é um conjunto de conteúdo nulo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois conjuntos,
e
, onde
está dentro de
(
). Além disso,
é um conjunto de conteúdo nulo, ou seja, tem medida de Lebesgue igual a zero. O objetivo é mostrar que, se
tem conteúdo nulo, então qualquer conjunto
que está dentro de
também tem conteúdo nulo. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de medida de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ter conteúdo nulo. Em termos de medida de Lebesgue, um conjunto
tem conteúdo nulo se a medida de
é zero, ou seja,
. Isso quer dizer que, apesar do conjunto poder ter infinitos pontos, ele ocupa “nenhum espaço” na linha real.
Passo 3
Agora, sabemos que
e
. Como
está dentro de
, todo elemento de
também está em
. Vamos usar a propriedade de monotonicidade da medida: se um conjunto está dentro de outro, a medida do conjunto menor é menor ou igual à medida do conjunto maior. Matematicamente, isso é expresso como:
Passo 4
Sabendo que
e usando a desigualdade acima, temos:
Como medidas são sempre não negativas, concluímos que:
Portanto,
também tem conteúdo nulo.
Resposta
Assim, mostramos que se
e
é um conjunto de conteúdo nulo, então
também é um conjunto de conteúdo nulo, ou seja,
.
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e
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e pelas retas
e
. Use a mudança
e
.
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e
a região compreendida entre
e
.