Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar onde a função
é contínua. O conteúdo aqui é sobre continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e verificar isso para a função dada.
Passo 2
Primeiro, lembrando o básico: uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para toda coordenada
onde a função está definida e satisfaz essa condição, ela é contínua.
Passo 3
Vamos analisar a função dada:
Para todos os pontos
, a função é uma razão de polinômios, que é contínua nesses pontos, já que o denominador
nunca é zero nesses casos.
Passo 4
O único ponto que precisamos verificar é
. Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Podemos testar diferentes caminhos, como
, e ver que o limite sempre tende a 0. Assim, o limite existe e é igual ao valor da função em
, que é 0.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano, ou seja, no conjunto
.
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Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
no
Mostre que se
e
é um conjunto de conteúdo nulo, então
é um conjunto de conteúdo nulo.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
é a região do primeiro quadrante que está delimitada pelas hipérboles
e pelas retas
e
. Use a mudança
e
.