Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
f(x, y) = { x^3 * y^2 / (x^8 + y^4), se (x, y) != (0,0) ; 0, se (x, y) = (0,0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar onde a função é contínua. O conteúdo aqui é sobre continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e verificar isso para a função dada.

Passo 2

Primeiro, lembrando o básico: uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para toda coordenada onde a função está definida e satisfaz essa condição, ela é contínua.

Passo 3

Vamos analisar a função dada:
Para todos os pontos , a função é uma razão de polinômios, que é contínua nesses pontos, já que o denominador nunca é zero nesses casos.

Passo 4

O único ponto que precisamos verificar é . Vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Podemos testar diferentes caminhos, como , e ver que o limite sempre tende a 0. Assim, o limite existe e é igual ao valor da função em , que é 0.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano, ou seja, no conjunto .

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Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
f(x, y) = (x + y) / (2 + cos(x))
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Mostre que se A ⊆ B e B é um conjunto de conteúdo nulo, então A é um conjunto de conteúdo nulo.
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f(x, y)=x y+y^2 e B é a região do primeiro quadrante que está delimitada pelas hipérboles x y=1, x y=3 e pelas retas y=x e y=2 x. Use a mudança u=x y e v=y.