Suponha f(x, y) contínua em R^2. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
integral-1^0[integral1-raiz1+y^1+raiz1+y f(x, y) d x] d y+integral0^3[integraly^23^1+raiz1+y f(x, y) d x] d y
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função contínua no plano e precisamos inverter a ordem de integração de duas integrais duplas que estão somadas. A matéria aqui envolve cálculo de integrais duplas e a troca da ordem de integração, que é importante para simplificar cálculos complicados ou para ajustar a região de integração. Para resolver, vamos precisar entender como representar a região de integração graficamente e aplicar as regras para inverter a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas integrais que a gente tem:
integral-1^0 [ integral1 - raiz1 + y^1 + raiz1 + y f(x, y) , dx ] dy + integral0^3 [ integraly^23^1 + raiz1 + y f(x, y) , dx ] dy
Cada uma dessas integrais representa uma área diferente no plano . Nosso objetivo é combinar essas duas integrais em uma só, trocando a ordem de integração (primeiro em , depois em ).

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração para visualizar melhor. Para isso, precisamos identificar os limites de e em cada parte da integral.
Primeira integral:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Segunda integral:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .

Passo 4

Vamos desenhar essas curvas para entender a região:
  1. Para entre e :
    • são duas curvas que se abrem horizontalmente.
  2. Para entre e :
    • é uma parábola aberta para a direita.
    • ainda é a mesma curva da primeira integral.

Passo 5

Com o esboço da região, podemos determinar os limites para a integração invertida. Vamos notar os seguintes pontos:
  • O valor mínimo de é dado por quando , que resulta em .
  • O valor máximo de é quando , resultando em .
  • Para fixo, varia de uma curva inferior a uma curva superior que dependem do intervalo de .

Passo 6

Agora, vamos expressar em termos de :
  1. A curva pode ser rearranjada para .
  2. A curva da parábola pode ser rearranjada para e , mas como varia de a na segunda integral, consideramos apenas .

Passo 7

Definindo os novos limites:
  • varia de a .
  • Para :
    • varia de a .
  • Para :
    • varia de a .

Passo 8

Assim, a soma das integrais pode ser escrita como uma única integral iterada com a ordem de integração invertida:
integral0^3 [ integral-1^(x - 1)^2 - 1 f(x, y) , dy ] dx

Passo 9

Agora, vamos calcular a área da região de integração. A área A = integral0^3 [ integral-1^(x - 1)^2 - 1 1 , dy ] dx pode ser calculada integrando integral-1^(x - 1)^2 - 1 1 , dy = (x - 1)^2 - 1 - (-1) = (x - 1)^2 sobre a região:
A = integral0^3 (x - 1)^2 , dx
Calculando a integral interna:
integral (x - 1)^2 , dx = (x - 1)^33
Então, a área é:
A = [ (3 - 1)^33 ] - [ (0 - 1)^33 ] = 83 - ( -13 ) = 93 = 3
Integrando :
Avaliando de a :

Resposta

A soma das integrais invertidas pode ser escrita como:
integral0^3 [ integral-1^(x - 1)^2 - 1 f(x, y) , dy ] dx
E a área da região de integração é unidades quadradas.

Exercícios relacionados