Suponha contínua em . Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função contínua no plano e precisamos inverter a ordem de integração de duas integrais duplas que estão somadas. A matéria aqui envolve cálculo de integrais duplas e a troca da ordem de integração, que é importante para simplificar cálculos complicados ou para ajustar a região de integração. Para resolver, vamos precisar entender como representar a região de integração graficamente e aplicar as regras para inverter a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas integrais que a gente tem:
Cada uma dessas integrais representa uma área diferente no plano . Nosso objetivo é combinar essas duas integrais em uma só, trocando a ordem de integração (primeiro em , depois em ).

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração para visualizar melhor. Para isso, precisamos identificar os limites de e em cada parte da integral.
Primeira integral:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Segunda integral:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .

Passo 4

Vamos desenhar essas curvas para entender a região:
  1. Para entre e :
    • são duas curvas que se abrem horizontalmente.
  2. Para entre e :
    • é uma parábola aberta para a direita.
    • ainda é a mesma curva da primeira integral.

Passo 5

Com o esboço da região, podemos determinar os limites para a integração invertida. Vamos notar os seguintes pontos:
  • O valor mínimo de é dado por quando , que resulta em .
  • O valor máximo de é quando , resultando em .
  • Para fixo, varia de uma curva inferior a uma curva superior que dependem do intervalo de .

Passo 6

Agora, vamos expressar em termos de :
  1. A curva pode ser rearranjada para .
  2. A curva da parábola pode ser rearranjada para e , mas como varia de a na segunda integral, consideramos apenas .

Passo 7

Definindo os novos limites:
  • varia de a .
  • Para :
    • varia de a .
  • Para :
    • varia de a .

Passo 8

Assim, a soma das integrais pode ser escrita como uma única integral iterada com a ordem de integração invertida:

Passo 9

Agora, vamos calcular a área da região de integração. A área pode ser calculada integrando sobre a região:
Calculando a integral interna:
Então, a área é:
Integrando :
Avaliando de a :

Resposta

A soma das integrais invertidas pode ser escrita como:
E a área da região de integração é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule o volume dos sólidos dados. e
Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Considere a região formada pelos pontos que estão fora da circunferência 1 e dentro da cardióide . Use coordenadas polares com pólo em , para calcular a área da região descrita.
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e e .