Suponha
contínua em
. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função contínua
no plano
e precisamos inverter a ordem de integração de duas integrais duplas que estão somadas. A matéria aqui envolve cálculo de integrais duplas e a troca da ordem de integração, que é importante para simplificar cálculos complicados ou para ajustar a região de integração. Para resolver, vamos precisar entender como representar a região de integração graficamente e aplicar as regras para inverter a ordem das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas integrais que a gente tem:
Cada uma dessas integrais representa uma área diferente no plano
. Nosso objetivo é combinar essas duas integrais em uma só, trocando a ordem de integração (primeiro em
, depois em
).
Passo 3
Vamos esboçar a região de integração para visualizar melhor. Para isso, precisamos identificar os limites de
e
em cada parte da integral.
Primeira integral:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a .
Segunda integral:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a .
Passo 4
Vamos desenhar essas curvas para entender a região:
-
Para
entre e : -
são duas curvas que se abrem horizontalmente.
-
-
Para
entre e : -
é uma parábola aberta para a direita. -
ainda é a mesma curva da primeira integral.
-
Passo 5
Com o esboço da região, podemos determinar os limites para a integração invertida. Vamos notar os seguintes pontos:
- O valor mínimo de
é dado por quando , que resulta em . - O valor máximo de
é quando , resultando em . - Para
fixo, varia de uma curva inferior a uma curva superior que dependem do intervalo de .
Passo 6
Agora, vamos expressar
em termos de
:
- A curva
pode ser rearranjada para . - A curva da parábola
pode ser rearranjada para e , mas como varia de a na segunda integral, consideramos apenas .
Passo 7
Definindo os novos limites:
-
varia de a . - Para
: -
varia de a .
-
- Para
: -
varia de a .
-
Passo 8
Assim, a soma das integrais pode ser escrita como uma única integral iterada com a ordem de integração invertida:
Passo 9
Agora, vamos calcular a área da região de integração. A área
pode ser calculada integrando
sobre a região:
Calculando a integral interna:
Então, a área é:
Integrando
:
Avaliando de
a
:
Resposta
A soma das integrais invertidas pode ser escrita como:
E a área da região de integração é
unidades quadradas.
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e
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1 e dentro da cardióide
. Use coordenadas polares com pólo em
, para calcular a área da região descrita.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.