Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre a região definida por . Além disso, vamos fazer um esboço dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de integração dupla e geometria das regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A equação representa uma elipse. Para esboçar essa elipse:
Dividimos a inequação por 1: .
Isso mostra que a elipse tem semi-eixo maior de comprimento 1 na direção e semi-eixo menor de comprimento na direção .
Então, desenhamos uma elipse centrada na origem com esses semi-eixos.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforme a elipse em um círculo unitário. Vamos usar:
Com essa substituição, a região fica como , que é um círculo unitário.
Passo 4
Precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a integral:
Então, a integral original se transforma em:
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (2 cdot u2 + v) cdot 12 , du , dv = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u + v) cdot 12 , du , dv
Passo 5
Vamos separar a integral:
12 integral duplau^2 + v^2 <= 1 u , du , dv + 12 integral duplau^2 + v^2 <= 1 v , du , dv
Mas, percebemos que tanto integral duplau^2 + v^2 <= 1 u , du , dv = 0 e integral duplau^2 + v^2 <= 1 v , du , dv = 0 quanto são funções ímpares e estamos integrando sobre uma região simétrica ao redor da origem. Isso faz com que ambas as integrais sejam zero: