Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração. $\int_{0}^{1}\left[\int_{x}^{x+3} f(x, y) d y\right] d x$

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral dupla, ou seja, duas integrais iteradas, e a tarefa é inverter a região de integração. Além disso, precisamos calcular a área dessa região de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como a região está definida inicialmente e como podemos mudar a ordem de integração. Também vamos usar conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente sobre como descrever regiões no plano xy para integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração que temos. A integral dada é:
Aqui, o varia de 0 a 1, e para cada , o varia de a . Isso define uma região no plano xy onde queremos integrar a função .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que seja a primeira variável a ser integrada e a segunda. Para isso, vamos visualizar ou desenhar a região de integração.
Quando vai de 0 a 1, e para cada , vai de a , isso significa que a região está limitada por:
  • A linha
  • A linha
  • As linhas verticais e

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de . Observando as equações das linhas:
  • Quando , vai de 0 a 3.
  • Quando , vai de 1 a 4.
Portanto, varia de 0 a 4.
Para cada valor de , precisamos encontrar os valores correspondentes de . A partir das equações:
  • A linha pode ser reescrita como .
  • A linha pode ser reescrita como .
Mas como varia de 0 a 1, precisamos ajustar os limites:
  • Para de 0 a 3, varia de 0 a .
  • Para de 3 a 4, varia de a 1.

Passo 5

Com esses novos limites, a integral com a ordem invertida fica:
Isso significa que primeiro integramos em relação a de 0 a quando está entre 0 e 3, e de a 1 quando está entre 3 e 4.

Passo 6

Agora, vamos calcular a área da região de integração. Para isso, consideramos , pois a integral dupla de 1 sobre a região dá exatamente a área dessa região.
Então, a integral para a área será:

Passo 7

Vamos resolver a primeira parte da integral:

Passo 8

Agora, a segunda parte:
Integrando:

Passo 9

Somando as duas partes:

Resposta

A área da região de integração é igual a 5 unidades quadradas.

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Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
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