Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral dupla, ou seja, duas integrais iteradas, e a tarefa é inverter a região de integração. Além disso, precisamos calcular a área dessa região de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como a região está definida inicialmente e como podemos mudar a ordem de integração. Também vamos usar conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente sobre como descrever regiões no plano xy para integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração que temos. A integral dada é:
Aqui, o
varia de 0 a 1, e para cada
, o
varia de
a
. Isso define uma região no plano xy onde queremos integrar a função
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que
seja a primeira variável a ser integrada e
a segunda. Para isso, vamos visualizar ou desenhar a região de integração.
Quando
vai de 0 a 1, e para cada
,
vai de
a
, isso significa que a região está limitada por:
- A linha
- A linha
- As linhas verticais
e
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de
. Observando as equações das linhas:
- Quando
, vai de 0 a 3. - Quando
, vai de 1 a 4.
Portanto,
varia de 0 a 4.
Para cada valor de
, precisamos encontrar os valores correspondentes de
. A partir das equações:
- A linha
pode ser reescrita como . - A linha
pode ser reescrita como .
Mas como
varia de 0 a 1, precisamos ajustar os limites:
- Para
de 0 a 3, varia de 0 a . - Para
de 3 a 4, varia de a 1.
Passo 5
Com esses novos limites, a integral com a ordem invertida fica:
Isso significa que primeiro integramos em relação a
de 0 a
quando
está entre 0 e 3, e de
a 1 quando
está entre 3 e 4.
Passo 6
Agora, vamos calcular a área da região de integração. Para isso, consideramos
, pois a integral dupla de 1 sobre a região dá exatamente a área dessa região.
Então, a integral para a área será:
Passo 7
Vamos resolver a primeira parte da integral:
Passo 8
Agora, a segunda parte:
Integrando:
Passo 9
Somando as duas partes:
Resposta
A área da região de integração é igual a 5 unidades quadradas.