Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A gente precisa calcular a integral de sobre a região definida por . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de integrais duplas e mudanças de variáveis para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . A equação representa uma elipse. Para visualizar, podemos dividir ambos os lados por 9:
Isso mostra que a elipse tem semieixos de comprimento na direção e 3 na direção . [Aqui, você faria um esboço da elipse com esses semieixos.]

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforme a elipse em um círculo. Vamos definir:
Essa transformação ajusta os coeficientes de e para que a região de integração vire um círculo.

Passo 4

Com essa mudança, a região fica:
Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano é dado por:
Assim, a integral original se torna:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração agora é um círculo. Definimos:
E o elemento de área se transforma em .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
Resolvendo a integral interna:
Agora, integrando em :

Resposta

A integral é igual a .

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Resolva: