Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A gente precisa calcular a integral de sobre a região definida por . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de integrais duplas e mudanças de variáveis para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A equação representa uma elipse. Para visualizar, podemos dividir ambos os lados por 9:
Isso mostra que a elipse tem semieixos de comprimento na direção e 3 na direção . [Aqui, você faria um esboço da elipse com esses semieixos.]
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforme a elipse em um círculo. Vamos definir:
Essa transformação ajusta os coeficientes de e para que a região de integração vire um círculo.
Passo 4
Com essa mudança, a região fica:
Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano é dado por:
Assim, a integral original se torna:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração agora é um círculo. Definimos:
u = r costheta, v = r sintheta
E o elemento de área se transforma em .
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
1raiz2 integral0^2pi integral0^3 e^r^2 r , dr , dtheta
Resolvendo a integral interna:
integral0^3 e^r^2 r , dr = 12 e^r^2 |0^3 = 12 (e^9 - 1)