Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=e^y^2+2 x^2 e B: 2 x^2+y^2 <= 9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A gente precisa calcular a integral de sobre a região definida por . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de integrais duplas e mudanças de variáveis para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração x^2(3raiz2)^2 + y^23^2 <= 1 . A equação representa uma elipse. Para visualizar, podemos dividir ambos os lados por 9:
Isso mostra que a elipse tem semieixos de comprimento na direção e 3 na direção . [Aqui, você faria um esboço da elipse com esses semieixos.]

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforme a elipse u = x raiz2, v = y em um círculo. Vamos definir:
Essa transformação ajusta os coeficientes de e para que a região de integração vire um círculo.

Passo 4

Com essa mudança, a região u^2 + v^2 <= 9 fica:
J = | partial(x, y)partial(u, v) | = 1raiz2
Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano integral duplaB e^y^2 + 2x^2 , dx , dy = 1raiz2 integral duplau^2 + v^2 <= 9 e^v^2 + u^2 , du , dv é dado por:
Assim, a integral original se torna:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração agora é um círculo. Definimos:
u = r costheta, v = r sintheta
E o elemento de área se transforma em .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
1raiz2 integral0^2pi integral0^3 e^r^2 r , dr , dtheta
Resolvendo a integral interna:
integral0^3 e^r^2 r , dr = 12 e^r^2 |0^3 = 12 (e^9 - 1)
Agora, integrando em 1raiz2 cdot 12 (e^9 - 1) cdot 2pi = piraiz2 (e^9 - 1) :

Resposta

A integral é igual a .

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