Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e a região do primeiro quadrante compreendida entre , e .
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla , onde . A região está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas , , e . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que simplifique a região de integração e facilite o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . As curvas e são hipérboles que ficam no primeiro quadrante, já que e são positivos. As curvas e também são hipérboles no primeiro quadrante. Essas quatro curvas formam uma região fechada que vamos integrar.
Passo 3
Para simplificar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis adequada. Observamos que as equações das curvas envolvem os termos e . Então, definimos:
Passo 4
Com essa mudança de variáveis, precisamos calcular o Jacobiano para substituir por . As derivadas parciais são:
O Jacobiano é:
Portanto, o valor absoluto do Jacobiano é .
Passo 5
Agora, substituímos a integral original usando a mudança de variáveis:
Isso significa que a integral agora é vezes a área da região nas novas coordenadas e .