Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e a região do primeiro quadrante compreendida entre , e .

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde . A região está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas , , e . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que simplifique a região de integração e facilite o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . As curvas e são hipérboles que ficam no primeiro quadrante, já que e são positivos. As curvas e também são hipérboles no primeiro quadrante. Essas quatro curvas formam uma região fechada que vamos integrar.

Passo 3

Para simplificar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis adequada. Observamos que as equações das curvas envolvem os termos e . Então, definimos:

Passo 4

Com essa mudança de variáveis, precisamos calcular o Jacobiano para substituir por . As derivadas parciais são:
O Jacobiano é:
Portanto, o valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 5

Agora, substituímos a integral original usando a mudança de variáveis:
Isso significa que a integral agora é vezes a área da região nas novas coordenadas e .

Passo 6

A região nas novas coordenadas é definida por:
Portanto, a integral se torna:

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Considere a região formada pelos pontos que estão fora da circunferência 1 e dentro da cardióide . Faça a representação gráfica da região descrita e escreva a curva que descreve a cardióide na forma .
Calcule o volume dos sólidos dados. e
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica. : interseç̧ão dos cilindros maciços e .