Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=x^2+y^2 e B a região do primeiro quadrante compreendida entre x y=1, x y=3, x^2-y^2=1 e x^2-y^2=4.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y)=x^2+y^2. A região B está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas xy=1, xy=3, x^2-y^2=1 e x^2-y^2=4. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que simplifique a região de integração e facilite o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região B. As curvas xy=1 e xy=3 são hipérboles que ficam no primeiro quadrante, já que x e y são positivos. As curvas x^2-y^2=1 e x^2-y^2=4 também são hipérboles no primeiro quadrante. Essas quatro curvas formam uma região fechada que vamos integrar.

Passo 3

Para simplificar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis adequada. Observamos que as equações das curvas envolvem os termos xy e x^2-y^2. Então, definimos:
u = xy v = x^2 - y^2

Passo 4

Com essa mudança de variáveis, precisamos calcular o Jacobiano para substituir dx , dy por du , dv. As derivadas parciais são:
partial upartial x = y partial upartial y = x partial vpartial x = 2x partial vpartial y = -2y
O Jacobiano J é:
J = y & x 2x & -2y = (-2y)(y) - (x)(2x) = -2y^2 - 2x^2 = -2(x^2 + y^2)
Portanto, o valor absoluto do Jacobiano é |J| = 2(x^2 + y^2).

Passo 5

Agora, substituímos a integral original usando a mudança de variáveis:
integral duplaB (x^2 + y^2) , dx , dy = integral duplaD (x^2 + y^2) cdot 1|J| , du , dv = integral duplaD (x^2 + y^2)2(x^2 + y^2) , du , dv = integral duplaD 12 , du , dv
Isso significa que a integral agora é 12 vezes a área da região D nas novas coordenadas u e v.

Passo 6

A região D nas novas coordenadas é definida por:
1 <= u <= 3 1 <= v <= 4
Portanto, a integral se torna:
12 integralu=1^3 integralv=1^4 dv , du = 12 cdot (3 - 1) cdot (4 - 1) = 12 cdot 2 cdot 3 = 3

Resposta

A integral dupla é igual a 3.

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