Considere a região formada pelos pontos que estão fora da circunferência
1 e dentro da cardióide
. Faça a representação gráfica da região descrita e escreva a curva que descreve a cardióide na forma
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem que analisar uma região formada por pontos que estão fora de uma circunferência dada por
e que estão dentro de uma cardióide descrita por
. Além disso, precisamos fazer um gráfico dessa região e escrever a curva da cardióide na forma paramétrica
para
variando de
a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar essas curvas no plano cartesiano e trabalhar com coordenadas polares e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a circunferência
. Essa é uma circunferência com centro em
e raio
. Então, todos os pontos que satisfazem essa equação estão exatamente nessa circunferência.
Passo 3
Agora, vamos analisar a cardióide
. Essa é uma curva conhecida em coordenadas polares. Para facilitar, vamos converter essa equação para coordenadas cartesianas. Sabemos que:
Substituindo
na equação da cardióide:
Então, a forma paramétrica da cardióide fica:
Passo 4
Agora, vamos representar graficamente a região descrita. Precisamos identificar os pontos que estão fora da circunferência
e dentro da cardióide
.
Para isso:
- Desenhe a circunferência com centro em
e raio . - Em seguida, desenhe a cardióide usando a forma paramétrica que encontramos.
- A região de interesse será a parte da cardióide que não está sobreposta à circunferência.
Passo 5
Vamos visualizar isso:
- A circunferência está deslocada para a direita no eixo
. - A cardióide, por ser
, tem um formato de coração com um “saliente” na direção positiva do eixo . - A interseção dessas duas curvas vai determinar os limites da região que estamos analisando.
Para desenhar, você pode usar ferramentas de gráficos online ou papel milimetrado, seguindo as formas das duas curvas e identificando a área que está fora da circunferência e dentro da cardióide.
Resposta
A curva que descreve a cardióide na forma paramétrica é:
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,
e
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