Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica. : interseç̧ão dos cilindros maciços e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume da interseção de dois cilindros dados pelas equações e . Vamos usar conceitos de cálculo de volume usando integrais múltiplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dos cilindros. A equação pode ser reescrita completando o quadrado para :
Isso representa um cilindro com raio 1, centrado no ponto no plano , e se estendendo ao longo do eixo .
Passo 3
A segunda equação também podemos completar o quadrado para :
Isso representa outro cilindro com raio 1, centrado no ponto no plano , e se estendendo ao longo do eixo .
Passo 4
Agora, a interseção desses dois cilindros forma um sólido tridimensional. Para calcular o volume desse sólido, vamos usar integrais duplas ou triplas. Uma abordagem eficiente é usar coordenadas cilíndricas, mas como os cilindros estão deslocados, será mais fácil usar integrais triplas cartesianas.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Observando as equações dos cilindros, podemos resolver para e em termos de :
O intervalo para vai de a , pois além desses valores, as raízes se tornam imaginárias.
Passo 6
Configurando a integral tripla para o volume :
Passo 7
Vamos resolver a integral interna com respeito a :
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, vamos resolver a integral em :
Resposta
O volume da interseção dos dois cilindros é unidades cúbicas.