Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica. : interseç̧ão dos cilindros maciços e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume da interseção de dois cilindros dados pelas equações e . Vamos usar conceitos de cálculo de volume usando integrais múltiplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dos cilindros. A equação pode ser reescrita completando o quadrado para :
Isso representa um cilindro com raio 1, centrado no ponto no plano , e se estendendo ao longo do eixo .

Passo 3

A segunda equação também podemos completar o quadrado para :
Isso representa outro cilindro com raio 1, centrado no ponto no plano , e se estendendo ao longo do eixo .

Passo 4

Agora, a interseção desses dois cilindros forma um sólido tridimensional. Para calcular o volume desse sólido, vamos usar integrais duplas ou triplas. Uma abordagem eficiente é usar coordenadas cilíndricas, mas como os cilindros estão deslocados, será mais fácil usar integrais triplas cartesianas.

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Observando as equações dos cilindros, podemos resolver para e em termos de :
O intervalo para vai de a , pois além desses valores, as raízes se tornam imaginárias.

Passo 6

Configurando a integral tripla para o volume :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna com respeito a :

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Agora, vamos resolver a integral em :

Resposta

O volume da interseção dos dois cilindros é unidades cúbicas.

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Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e a região do primeiro quadrante compreendida entre , e .
Resolva:
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo: