Calcule o volume dos sólidos dados.
e
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido
definido pelas condições:
Aqui, estamos trabalhando com geometria tridimensional e integração múltipla. Vamos precisar usar integrais triplas para encontrar o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável.
-
Para
: Como e , o valor de varia de 0 a 1. -
Para
: Para um valor fixo de , varia de 0 até (porque ). -
Para
: Para valores fixos de e , varia de 0 até .
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla que representa o volume
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 4
Substituindo a integração de
na integral dupla, temos:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 5
Calculando a primeira parte:
Expandindo:
Passo 6
Calculando a segunda parte:
Integrando:
Passo 7
Finalmente, somamos as duas partes para obter o volume total:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Considere a região formada pelos pontos que estão fora da circunferência
1 e dentro da cardióide
. Faça a representação gráfica da região descrita e escreva a curva que descreve a cardióide na forma
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
a região do primeiro quadrante compreendida entre
,
e
.