Calcule o volume dos sólidos dados. S: x >= 0, y >= 0, z >= 0, x + y <= 1 e z <= x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido definido pelas condições:
Aqui, estamos trabalhando com geometria tridimensional e integração múltipla. Vamos precisar usar integrais triplas para encontrar o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável.
  • Para : Como e , o valor de varia de 0 a 1.
  • Para : Para um valor fixo de , varia de 0 até (porque ).
  • Para : Para valores fixos de e , varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla que representa o volume :
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 4

Substituindo a integração de na integral dupla, temos:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 5

Calculando a primeira parte:
Expandindo:

Passo 6

Calculando a segunda parte:
Integrando:

Passo 7

Finalmente, somamos as duas partes para obter o volume total:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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