Estude a integrabilidade das funções dadas. f(x, y) = 2 x^2 y em B = {(x, y) : 1 <= x <= 2} e x^2 <= y <= x^3.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente estudar a integrabilidade da função no conjunto e . Isso envolve entender se a função pode ser integrada nessa região específica, usando conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função polinomial, composta por potências de e . Funções polinomiais são contínuas em todo o plano, o que é uma boa notícia porque continuidade garante que a função seja integrável na região considerada.

Passo 3

Agora, vamos entender a região . Temos que varia de 1 a 2 e, para cada , varia de a . Isso define uma área no plano onde vamos calcular a integral dupla.

Passo 4

Vamos montar a integral dupla para calcular a integral de sobre :

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, resolvemos a integral externa em relação a :
Simplificando:

Resposta

A função é integrável sobre a região , e o valor da integral dupla é aproximadamente 38,63.

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