Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=y^5 cos (x^5) e B: x >= y^2 e x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede para calcular a integral dupla da função sobre a região definida por e . Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever essa região e, em seguida, configurar a integral dupla de maneira apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração . A condição representa um círculo de raio 1 centrado na origem. Já a desigualdade é uma parábola que abre para a direita.

Passo 3

Vamos identificar onde essas duas curvas se intersectam para saber os limites da nossa região. Igualando y^2 + y^4 = 1 na equação do círculo:
Resolvendo para , percebemos que os pontos de interseção são simétricos em relação ao eixo . No entanto, para simplificar, notamos que a integral da função em relação a será análoga a uma função ímpar devido ao termo .

Passo 4

Observando a simetria, notamos que a região é simétrica em relação ao eixo . A função é ímpar, ou seja, , enquanto é uma função par em (já que depende apenas de ).

Passo 5

Quando integramos uma função ímpar ( ) sobre uma região simétrica em relação ao eixo , o resultado da integral em será zero. Isso porque as contribuições positivas e negativas se cancelam.

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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