Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região
definida por
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever essa região
e, em seguida, configurar a integral dupla de maneira apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração
. A condição
representa um círculo de raio 1 centrado na origem. Já a desigualdade
é uma parábola que abre para a direita.
Passo 3
Vamos identificar onde essas duas curvas se intersectam para saber os limites da nossa região. Igualando
na equação do círculo:
Resolvendo para
, percebemos que os pontos de interseção são simétricos em relação ao eixo
. No entanto, para simplificar, notamos que a integral da função
em relação a
será análoga a uma função ímpar devido ao termo
.
Passo 4
Observando a simetria, notamos que a região
é simétrica em relação ao eixo
. A função
é ímpar, ou seja,
, enquanto
é uma função par em
(já que depende apenas de
).
Passo 5
Quando integramos uma função ímpar (
) sobre uma região simétrica em relação ao eixo
, o resultado da integral em
será zero. Isso porque as contribuições positivas e negativas se cancelam.
Resposta
A integral dupla
é igual a 0.
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.
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contínua num retângulo
é integrável nesse retângulo.
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e
Considere a região formada pelos pontos que estão fora da circunferência
1 e dentro da cardióide
. Faça a representação gráfica da região descrita e escreva a curva que descreve a cardióide na forma
.