Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=|x-2| sen(y) e B=[0,2] times[1,3].

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral dupla , onde e a região é o retângulo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração dupla em retângulos.

Passo 2

Como a região integral0^2 integral1^3 |x - 2| cdot sen(y) , dy , dx é um retângulo, podemos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Ficaria assim:

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a integral1^3 sen(y) , dy = [-cos(y)]1^3 = -cos(3) + cos(1) . Aqui, é considerado uma constante porque só depende de :

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Como (-cos(3) + cos(1)) integral0^2 |x - 2| , dx é uma constante em relação a , podemos fatorar:

Passo 5

Vamos resolver a integral integral0^2 (2 - x) , dx = [2x - x^22]0^2 = (4 - 2) - (0 - 0) = 2 . Nesse intervalo, , então:

Resposta

A integral dupla vale .

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