Calcule as integrais: integral duplaR(3 y^2+6 x) d y d x, onde R=[0,2] times[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício pede. A questão está no contexto de Cálculo Integral, mais especificamente, integrais duplas sobre uma região retangular. Precisamos calcular integral duplaR(3 y^2+6 x) , dy , dx, onde a região R é o retângulo definido por [0,2] times [0,1]. Para isso, vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função 3 y^2 + 6x em relação a y, mantendo x constante. A integral de 3 y^2 em relação a y é y^3, e a integral de 6x em relação a y é 6x y. Então, a integral interna fica:
integral0^1 (3 y^2 + 6x) , dy = [ y^3 + 6x y ]0^1

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de y de 0 a 1:
[ y^3 + 6x y ]0^1 = (1^3 + 6x cdot 1) - (0^3 + 6x cdot 0) = 1 + 6x - 0 = 1 + 6x

Passo 4

Agora, com o resultado da integral interna, vamos integrar isso em relação a x no intervalo de 0 a 2:
integral0^2 (1 + 6x) , dx
A integral de 1 em relação a x é x, e a integral de 6x é 3x^2. Então, temos:
[ x + 3x^2 ]0^2

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de x de 0 a 2:
[ x + 3x^2 ]0^2 = (2 + 3 cdot 2^2) - (0 + 3 cdot 0^2) = 2 + 12 - 0 = 14

Resposta

O valor da integral dupla é 14.

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