Calcule as integrais:
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é o quadrado
. Isso quer dizer que vamos trabalhar com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em regiões de duas dimensões. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender como delimitar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. A integral
representa o volume sob a superfície definida por
sobre a região
. No nosso caso,
e
, que é um quadrado no plano
com lados de 0 a 1.
Passo 3
Vamos começar integrando a função
em relação a
, mantendo
constante. A integral interna será:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 4
Calculando a primeira integral:
Passo 5
Agora, calculando a segunda integral:
Passo 6
Somando as duas partes que integramos:
Agora, nossa integral dupla vira uma integral simples em relação a
:
Passo 7
Vamos resolver essa integral:
Calculando cada parte:
Passo 8
Somando os resultados das integrais:
Resposta
A integral vale
.