Calcule as integrais: integral duplaR(2 x y+y^2) d x d y, onde R=[0,1] x[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR(2 x y+y^2) dx dy, onde a região R é o quadrado [0,1] times [0,1]. Isso quer dizer que vamos trabalhar com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em regiões de duas dimensões. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender como delimitar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. A integral integral duplaR f(x, y) dx dy representa o volume sob a superfície definida por f(x, y) sobre a região R. No nosso caso, f(x, y) = 2xy + y^2 e R = [0,1] times [0,1], que é um quadrado no plano xy com lados de 0 a 1.

Passo 3

Vamos começar integrando a função f(x, y) em relação a x, mantendo y constante. A integral interna será:
integral0^1 (2xy + y^2) dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral0^1 2xy , dx + integral0^1 y^2 , dx

Passo 4

Calculando a primeira integral:
integral0^1 2xy , dx = 2y integral0^1 x , dx = 2y [ x^22 ]0^1 = 2y ( 12 - 0 ) = 2y cdot 12 = y

Passo 5

Agora, calculando a segunda integral:
integral0^1 y^2 , dx = y^2 integral0^1 dx = y^2 [x]0^1 = y^2 (1 - 0) = y^2

Passo 6

Somando as duas partes que integramos:
y + y^2
Agora, nossa integral dupla vira uma integral simples em relação a y:
integral0^1 (y + y^2) dy

Passo 7

Vamos resolver essa integral:
integral0^1 y , dy + integral0^1 y^2 , dy
Calculando cada parte:
integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12
integral0^1 y^2 , dy = [ y^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13

Passo 8

Somando os resultados das integrais:
12 + 13 = 36 + 26 = 56

Resposta

A integral vale dfrac56.

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