Calcule as integrais iteradas pela mudança para coordenadas polares integral-3^3 integral0^raiz9-x^2(2 x+y) d y d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
integral-3^3 integral0^raiz9-x^2 (2x + y) , dy , dx
Queremos calcular essa integral transformando para coordenadas polares. Para isso, precisamos saber sobre integrais duplas, coordenadas polares e como fazer a mudança de variáveis entre os sistemas cartesiano e polar.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a região de integração no sistema cartesiano (x e y). Os limites são:
  • varia de -3 a 3
  • Para cada , varia de 0 a
Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 3 centrado na origem, já que é sempre positivo e .

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos converter para coordenadas polares. As relações entre coordenadas cartesianas e polares são:
x = r cos theta y = r sin theta dx , dy = r , dr , dtheta

Passo 4

Agora, determinamos os novos limites de integração em coordenadas polares:
  • O raio varia de 0 a 3 (raio do círculo)
  • O ângulo varia de 0 a (para cobrir a parte superior do círculo onde )

Passo 5

Vamos reescrever a função integranda 2x + y = 2r cos theta + r sin theta em termos de coordenadas polares:

Passo 6

Substituímos tudo na integral dupla:
integral0^pi integral0^3 (2r cos theta + r sin theta) r , dr , dtheta
Isso simplifica para:
integral0^pi integral0^3 (2r^2 cos theta + r^2 sin theta) , dr , dtheta

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a integral0^3 2r^2 cos theta , dr = 2 cos theta [r^33]0^3 = 2 cos theta (273) = 18 cos theta :
integral0^3 r^2 sin theta , dr = sin theta [r^33]0^3 = sin theta (273) = 9 sin theta
integral0^pi (18 cos theta + 9 sin theta) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a 18 integral0^pi cos theta , dtheta + 9 integral0^pi sin theta , dtheta :
18 [sin theta]0^pi + 9 [-cos theta]0^pi = 18 (0 - 0) + 9 ( -(-1) + 1 ) = 0 + 9 (2) = 18

Resposta

O valor da integral dupla é 18.

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