Calcule as integrais iteradas pela mudança para coordenadas polares
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
Queremos calcular essa integral transformando para coordenadas polares. Para isso, precisamos saber sobre integrais duplas, coordenadas polares e como fazer a mudança de variáveis entre os sistemas cartesiano e polar.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a região de integração no sistema cartesiano (x e y). Os limites são:
-
varia de -3 a 3 - Para cada
, varia de 0 a
Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 3 centrado na origem, já que
é sempre positivo e
.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos converter para coordenadas polares. As relações entre coordenadas cartesianas e polares são:
Passo 4
Agora, determinamos os novos limites de integração em coordenadas polares:
- O raio
varia de 0 a 3 (raio do círculo) - O ângulo
varia de 0 a (para cobrir a parte superior do círculo onde )
Passo 5
Vamos reescrever a função integranda
em termos de coordenadas polares:
Passo 6
Substituímos tudo na integral dupla:
Isso simplifica para:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é 18.