Calcule integral duplaR(cos (x-y)sen(x+y)) d x d y, onde R é o trapézio 1 <= x+y <= 2, x >= 0 e y >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla . O território é definido pelo trapézio , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis e entender um pouco sobre integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela está definida pelas condições:
Isso significa que varia de 1 a 2 (porque se e , então ). Para cada valor de , varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integral. Vamos definir:
Com isso, precisamos calcular o determinante jacobiano para mudar as variáveis da integral. Calculando as derivadas parciais, encontramos que o valor absoluto do jacobiano é igual a .

Passo 4

Com a mudança de variáveis, a integral dupla fica:
integral duplaR cos(x - y)sin(x + y) ,dx,dy = 12 integralu=1^2 integralv=-u^u-2 cos vsin u ,dv,du

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em 12 integral1^2 1sin u [ integral-u^u-2 cos v ,dv ] du :
sin(u-2) - sin(-u) = sin(u-2) + sin u
A integral de em relação a é . Avaliando de a , temos:

Passo 6

Substituindo de volta na integral, fica:
12 integral1^2 sin(u-2) + sin usin u ,du
Isso simplifica para:
12 integral1^2 (1 + sin(u-2)sin u) du
Mas observando que se simplifica, podemos integrar diretamente.

Passo 7

Após simplificar e integrar, chegamos à seguinte expressão:
12 [ -cos u + cos(u-2) ] g|1^2
Avaliando nos limites de 1 a 2:
12 [ (-cos 2 + cos 0) - (-cos 1 + cos(-1)) ]
Como 12 (1 - cos 2) e , simplificamos para:

Resposta

A integral vale .

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