Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla . O território é definido pelo trapézio , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis e entender um pouco sobre integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela está definida pelas condições:
Isso significa que varia de 1 a 2 (porque se e , então ). Para cada valor de , varia de 0 até .
Passo 3
Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integral. Vamos definir:
Com isso, precisamos calcular o determinante jacobiano para mudar as variáveis da integral. Calculando as derivadas parciais, encontramos que o valor absoluto do jacobiano é igual a .
Passo 4
Com a mudança de variáveis, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em :
A integral de em relação a é . Avaliando de a , temos:
Passo 6
Substituindo de volta na integral, fica:
Isso simplifica para:
Mas observando que se simplifica, podemos integrar diretamente.
Passo 7
Após simplificar e integrar, chegamos à seguinte expressão: