Calcule integral triplaR x d x d y d z, onde R é o conjunto de todos ( x, y, z) tais que 0 <= x <= 1,0 <= y <= x e 0 <= z <= x+y

Passo 1

Vamos entender o problema. Precisamos calcular a integral tripla de sobre a região , onde é definido por , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer os limites de integração. A variável varia de 0 a 1. Para cada valor de , varia de 0 a . E para cada par , varia de 0 a .

Passo 3

Escrevemos a integral tripla com esses limites:
integral0^1 integral0^x integral0^x + y x , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos integrar em relação a integral0^x + y x , dz = x cdot z g|0^x + y = x(x + y) = x^2 + xy primeiro. Como é constante em relação a , a integral de de 0 a é:

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^x (x^2 + xy) , dy = x^2 cdot y + x2 cdot y^2 g|0^x = x^3 + x^32 = 3x^32 de 0 a :

Passo 6

Por último, integramos em relação a integral0^1 3x^32 , dx = 32 cdot x^44 g|0^1 = 32 cdot 14 = 38 de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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