Calcule as integrais triplas repetidas: integral0^pi / 2 integral0^1 integral0^x^2(x cos y) d z d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla . Esse tipo de integral pertence ao estudo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que são usadas para calcular volumes ou outras quantidades em espaços tridimensionais. Para resolver essa integral, precisamos saber como integrar funções de várias variáveis, seguindo a ordem dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^x^2 (x cos y) , dz = x cos y cdot [ z ]0^x^2 = x cos y cdot (x^2 - 0) = x^3 cos y . Observamos que a função a ser integrada é , que não depende de . Quando integramos uma função constante em relação a uma variável, o resultado é a constante multiplicada pelo intervalo de integração dessa variável.

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^1 x^3 cos y , dx , com os limites de 0 a 1. A integral fica:
integral0^1 x^3 cos y , dx = cos y cdot [ x^44 ]0^1 = cos y cdot ( 1^44 - 0^44 ) = cos y4
Aqui, é tratado como uma constante em relação a . A antiderivada de em relação a é . Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos integrar o resultado em relação a integral0^pi2 cos y4 , dy = 14 integral0^pi2 cos y , dy , com os limites de 0 a 14 [ sin y ]0^pi2 = 14 ( sin pi2 - sin 0 ) = 14 (1 - 0) = 14 :
A antiderivada de em relação a é . Assim:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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