Calcule as integrais iteradas pela mudança para coordenadas polares integral-2^2 integral0^raiz4-x^2(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
integral-2^2 integral0^raiz4-x^2(x^2+y^2) , dy , dx
Estamos lidando com cálculo de integrais iteradas e vamos precisar mudar para coordenadas polares para facilitar a resolução. Isso porque a região de integração é um semicírculo, e coordenadas polares são perfeitas para lidar com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites internos são de até , e os limites externos de até . Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 2, centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r cos theta y = r sin theta x^2 + y^2 = r^2
E o elemento de área em coordenadas polares vira .

Passo 4

Determinar os novos limites de integração. Como a região é a parte superior do círculo de raio 2:
  • varia de 0 a 2.
  • varia de 0 a (pois estamos apenas na parte superior do círculo).

Passo 5

Substituímos tudo na integral:
integraltheta=0^pi integralr=0^2 (r^2) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integral0^2 r^3 , dr = [r^44]0^2 = 164 - 0 = 4 :
integral0^pi 4 , dtheta = 4theta g|0^pi = 4pi - 0 = 4pi
Depois, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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