Calcule as integrais iteradas pela mudança para coordenadas polares
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Estamos lidando com cálculo de integrais iteradas e vamos precisar mudar para coordenadas polares para facilitar a resolução. Isso porque a região de integração é um semicírculo, e coordenadas polares são perfeitas para lidar com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites internos são de até , e os limites externos de até . Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 2, centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área em coordenadas polares vira .
Passo 4
Determinar os novos limites de integração. Como a região é a parte superior do círculo de raio 2:
varia de 0 a 2.
varia de 0 a (pois estamos apenas na parte superior do círculo).