Calcule as integrais: integral duplaR(x sen(y)-y e^x) d x d y, onde R=[-1,1] times[0, pi / 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaR(x sen(y)-y e^x) d x d y, onde a região R é o retângulo [-1,1] times [0, pi / 2]. A matéria envolve cálculo de integrais duplas, e para resolver, vamos precisar entender como separar a integral em partes menores e integrar uma função em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser dividida em duas integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. A região R é [-1,1] para x e [0, pi / 2] para y, então podemos escrever:
integral duplaR(x sen(y)-y e^x) d x d y = integral0^pi/2 integral-1^1 (x sen(y)-y e^x) dx dy

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi/2 [ integral-1^1 x sen(y) dx - integral-1^1 y e^x dx ] dy
Isso se deve à propriedade da integral de que a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma das integrais internas separadamente.
Primeira integral interna:
integral-1^1 x sen(y) dx
Aqui, sen(y) é considerado constante em relação a x, então podemos tirar para fora da integral:
sen(y) integral-1^1 x dx
Calculando:
integral-1^1 x dx = [ x^22 ]-1^1 = 1^22 - (-1)^22 = 12 - 12 = 0
Então, a primeira integral interna é 0.
Segunda integral interna:
integral-1^1 y e^x dx
Aqui, y é constante em relação a x, então podemos tirar para fora:
y integral-1^1 e^x dx = y [ e^x ]-1^1 = y ( e^1 - e^-1 ) = y (e - 1e)

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^pi/2 ( 0 - y (e - 1e) ) dy = - (e - 1e) integral0^pi/2 y dy
Calculando a integral:
integral0^pi/2 y dy = [ y^22 ]0^pi/2 = (pi/2)^22 - 0 = pi^28
Então, temos:
- (e - 1e) cdot pi^28 = - pi^28 ( e - 1e )

Resposta

A integral vale - dfracpi^28 (e - dfrac1e).

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