Calcule as integrais:
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
, onde a região
é o retângulo
. A matéria envolve cálculo de integrais duplas, e para resolver, vamos precisar entender como separar a integral em partes menores e integrar uma função em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser dividida em duas integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. A região
é
para
e
para
, então podemos escrever:
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso se deve à propriedade da integral de que a integral da soma é a soma das integrais.
Passo 4
Agora, vamos resolver cada uma das integrais internas separadamente.
Primeira integral interna:
Aqui,
é considerado constante em relação a
, então podemos tirar para fora da integral:
Calculando:
Então, a primeira integral interna é 0.
Segunda integral interna:
Aqui,
é constante em relação a
, então podemos tirar para fora:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Calculando a integral:
Então, temos:
Resposta
A integral vale
.