Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 8 m^3 e com a menor área de superfície possível?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que tem um volume de e que precisa ter a menor área de superfície possível. Para isso, vamos usar conceitos de otimização na matemática, especialmente derivadas, para minimizar a área da caixa mantendo o volume fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento e a largura da base da caixa de metros cada, já que vamos assumir que a base é quadrada para facilitar a otimização. A altura da caixa será metros.

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Podemos isolar nessa equação:

Passo 4

Agora, vamos expressar a área de superfície da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área é composta pela área da base e pelas quatro faces laterais:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Para encontrar a menor área, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação:
Calculando o valor de :

Passo 7

Agora, encontramos a altura usando a expressão que derivamos:

Resposta

As dimensões da caixa com o volume de e a menor área de superfície possível são aproximadamente:

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