Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume
e com a menor área de superfície possível?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que tem um volume de
e que precisa ter a menor área de superfície possível. Para isso, vamos usar conceitos de otimização na matemática, especialmente derivadas, para minimizar a área da caixa mantendo o volume fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento e a largura da base da caixa de
metros cada, já que vamos assumir que a base é quadrada para facilitar a otimização. A altura da caixa será
metros.
Passo 3
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Podemos isolar
nessa equação:
Passo 4
Agora, vamos expressar a área de superfície da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área é composta pela área da base e pelas quatro faces laterais:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Para encontrar a menor área, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação:
Calculando o valor de
:
Passo 7
Agora, encontramos a altura
usando a expressão que derivamos:
Resposta
As dimensões da caixa com o volume de
e a menor área de superfície possível são aproximadamente: