Uma combinação de dois medicamentos está sendo testada no combate a certa infecção bacteriana. Os estudos mostraram que a duração de infecção em testes de laboratório pode ser modelada pela função f(x, y) = x^2 + 2y^2 - 18x + 2xy + 120, onde x é a dose do primeiro medicamento em centenas de mg e y é a dose do segundo medicamento em centenas de mg. Determine a dose de cada medicamento para que a duração da infecção seja mínima.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que representa a duração da infecção em relação às doses de dois medicamentos. O objetivo é encontrar as doses de cada medicamento que minimizam essa duração. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente otimização de funções de duas variáveis.

Passo 2

A função dada é . Aqui, é a dose do primeiro medicamento em centenas de mg e é a dose do segundo medicamento, também em centenas de mg.

Passo 3

Para encontrar o mínimo da função, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a e e igualá-las a zero. As derivadas parciais nos indicam as taxas de variação da função em cada direção.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Agora, igualamos a zero:

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 7

Vamos resolver a equação (2) para :

Passo 8

Substituímos na equação (1):

Passo 9

Agora, substituímos na expressão :

Passo 10

Então, encontramos que e . Porém, como doses negativas não fazem sentido no contexto, precisamos verificar se há algum erro ou interpretar os resultados de forma adequada.

Passo 11

Na prática, doses negativas não são possíveis, o que sugere que o mínimo ocorre nas fronteiras do domínio ou que a função não possui um mínimo real dentro dos valores positivos de e . No entanto, considerando apenas os cálculos matemáticos, os valores ótimos são e .

Resposta

As doses que minimizam a duração da infecção são:
No contexto prático, doses negativas não são viáveis, indicando que pode ser necessário reavaliar o modelo ou considerar restrições adicionais.

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