Uma combinação de dois medicamentos está sendo testada no combate a certa infecção bacteriana. Os estudos mostraram que a duração de infecção em testes de laboratório pode ser modelada pela função
, onde
é a dose do primeiro medicamento em centenas de
e y é a dose do segundo medicamento em centenas de mg. Determine a dose de cada medicamento para que a duração da infecção seja mínima.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que representa a duração da infecção em relação às doses de dois medicamentos. O objetivo é encontrar as doses de cada medicamento que minimizam essa duração. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente otimização de funções de duas variáveis.
Passo 2
A função dada é
. Aqui,
é a dose do primeiro medicamento em centenas de mg e
é a dose do segundo medicamento, também em centenas de mg.
Passo 3
Para encontrar o mínimo da função, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
e igualá-las a zero. As derivadas parciais nos indicam as taxas de variação da função em cada direção.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Agora, igualamos a zero:
Passo 5
Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 7
Vamos resolver a equação (2) para
:
Passo 8
Substituímos
na equação (1):
Passo 9
Agora, substituímos
na expressão
:
Passo 10
Então, encontramos que
e
. Porém, como doses negativas não fazem sentido no contexto, precisamos verificar se há algum erro ou interpretar os resultados de forma adequada.
Passo 11
Na prática, doses negativas não são possíveis, o que sugere que o mínimo ocorre nas fronteiras do domínio ou que a função não possui um mínimo real dentro dos valores positivos de
e
. No entanto, considerando apenas os cálculos matemáticos, os valores ótimos são
e
.
Resposta
As doses que minimizam a duração da infecção são:
No contexto prático, doses negativas não são viáveis, indicando que pode ser necessário reavaliar o modelo ou considerar restrições adicionais.