Inverta a ordem da integração para calcular: integral0^4 integralraizx^2 sen yy d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração dupla. A gente precisa inverter a ordem de integração da integral . Isso envolve entender como está configurada a região de integração e reorganizar os limites para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, varia de 0 a 4, e para cada , varia de a 2. Para inverter a ordem, precisamos expressar variando primeiro e depois em função de .

Passo 3

Vamos determinar os novos limites. Como , isso significa que . Além disso, olhando os limites originais, varia de até 2. Portanto, agora vai de 0 a 2 e, para cada , vai de 0 a .

Passo 4

Com isso, a integral invertida fica:
integral0^2 integral0^y^2 sen yy , dx , dy
Note que não depende de , então podemos simplificar a integração em .

Passo 5

Integrando em integral0^y^2 sen yy , dx = sen yy cdot x |0^y^2 = sen yy cdot y^2 = y cdot sen y :
integral0^2 y cdot sen y , dy
Agora, a integral ficou mais simples:

Passo 6

Para resolver u = y Rightarrow du = dy , vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
dv = sen y , dy Rightarrow v = -cos y
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
A fórmula de integração por partes é:
integral y cdot sen y , dy = -y cdot cos y + integral cos y , dy = -y cdot cos y + sen y + C
Aplicando isso:

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 2:
[ -y cdot cos y + sen y ]0^2 = ( -2 cdot cos 2 + sen 2 ) - ( -0 cdot cos 0 + sen 0 )
Simplificando:
-2 cdot cos 2 + sen 2 - 0 + 0 = -2 cdot cos 2 + sen 2

Resposta

A integral inversa vale .

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