Seja Q a região delimitada pelo cilindro z=4-x^2, pelo plano y+z=5 e pelos planos x y e x z. Seja S a superfície de Q. Se F(x, y, z)=(x^3+sen z) i+(x^2 y+cos z) j+e^x^2+y^2, calcule integral duplaS F n d S.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma região chamada , limitada pelo cilindro , pelo plano e pelos planos e . A superfície que delimita essa região é chamada de . A tarefa é calcular a integral de superfície , onde .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral tripla da divergência desse campo na região delimitada pela superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial nabla cdot F = partialpartial x(x^3 + sin z) + partialpartial y(x^2 y + cos z) + partialpartial z(e^x^2+y^2) . A divergência de partialpartial x(x^3 + sin z) = 3x^2 , denotada por partialpartial y(x^2 y + cos z) = x^2 , é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de partialpartial z(e^x^2+y^2) = 0 em relação às suas respectivas variáveis:
nabla cdot F = 3x^2 + x^2 + 0 = 4x^2
Calculando cada derivada:
Portanto,

Passo 3

Segundo o Teorema da Divergência, a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaQ nabla cdot F , dV = integral triplaQ 4x^2 , dV é igual à integral tripla da divergência de sobre a região :
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região .

Passo 4

Vamos analisar as fronteiras da região -2 <= x <= 2 :
  1. O cilindro 0 <= z <= 4 - x^2 implica que 0 <= y <= 5 - z varia de a .
  2. O plano pode ser rearranjado para . Como , varia de a .
  3. Os planos e indicam que e .
Além disso, observando o cilindro , temos que varia onde , ou seja, varia de a .
Portanto, os limites de integração são:

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla:
integral triplaQ 4x^2 , dV = integralx=-2^2 integralz=0^4 - x^2 integraly=0^5 - z 4x^2 , dy , dz , dx
Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integral em integral0^5 - z 4x^2 , dy = 4x^2 cdot y |0^5 - z = 4x^2(5 - z) :

Passo 6

Substituímos o resultado na integral dupla restante:
integralx=-2^2 integralz=0^4 - x^2 4x^2(5 - z) , dz , dx
Agora, resolvemos a integral em integral0^4 - x^2 4x^2(5 - z) , dz = 4x^2 [5z - z^22]0^4 - x^2 = 4x^2 [5(4 - x^2) - (4 - x^2)^22] :
4x^2 [20 - 5x^2 - 16 - 8x^2 + x^42] = 4x^2 [20 - 5x^2 - 8 + 4x^2 - x^42] = 4x^2 [12 - x^2 - x^42]
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos em integral-2^2 4x^2 (12 - x^2 - x^42) , dx = 4 integral-2^2 (12x^2 - x^4 - x^62) , dx :
4 cdot 2 integral0^2 (12x^2 - x^4 - x^62) , dx = 8 [ 12x^33 - x^55 - x^714 ]0^2
Observando que a função é par, podemos simplificar multiplicando a integral de 8 [ 4x^3 - x^55 - x^714 ]0^2 = 8 [ 4(8) - 325 - 12814 ] = 8 [ 32 - 6.4 - 9.142857 ] approx 8 times 16.457143 approx 131.6571 a por :
Calculando:

Resposta

A integral de superfície é aproximadamente igual a 131.66.

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