Seja a região delimitada pelo cilindro , pelo plano e pelos planos e . Seja a superfície de . Se , calcule .
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma região chamada , limitada pelo cilindro , pelo plano e pelos planos e . A superfície que delimita essa região é chamada de . A tarefa é calcular a integral de superfície , onde .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral tripla da divergência desse campo na região delimitada pela superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência de , denotada por , é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de em relação às suas respectivas variáveis:
Calculando cada derivada:
Portanto,
Passo 3
Segundo o Teorema da Divergência, a integral de superfície é igual à integral tripla da divergência de sobre a região :
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região .
Passo 4
Vamos analisar as fronteiras da região :
O cilindro implica que varia de a .
O plano pode ser rearranjado para . Como , varia de a .
Os planos e indicam que e .
Além disso, observando o cilindro , temos que varia onde , ou seja, varia de a .
Portanto, os limites de integração são:
Passo 5
Agora, configuramos a integral tripla:
Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integral em :
Passo 6
Substituímos o resultado na integral dupla restante: