Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e a che sua área utilizando uma ou mais integrais duplas.
y = x, y = 3x, x + y = 4

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que pede para esboçar a região delimitada por três linhas: , e . Além disso, precisamos encontrar a área dessa região usando integrais duplas. Vamos precisar entender um pouco sobre geometria analítica para encontrar os pontos de interseção dessas linhas e, depois, aplicar o cálculo de integrais duplas para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas linhas se cruzam, isso vai nos ajudar a desenhar a região que queremos. Vamos resolver as equações duas a duas.
  1. Interseção de e :
    Igualando as duas equações:
    Subtraindo de ambos os lados:
    Então, . O ponto de interseção é .
  2. Interseção de e :
    Substituindo na segunda equação:
    Então, . O ponto é .
  3. Interseção de e :
    Substituindo na segunda equação:
    Então, . O ponto é .
Agora temos os três pontos de interseção: , e .

Passo 3

Com os pontos de interseção, podemos desenhar a região. Ela é um triângulo formado por esses três pontos. Para calcular a área usando integrais duplas, vamos definir os limites de integração.
Vamos optar por integrar em relação a primeiro e depois a . Observando as equações das linhas, vemos que para um dado , varia de até (já que e ) até atingir a linha .
Planejando os limites:
  • varia de 0 a 2 (base do triângulo).
  • Para cada , varia de até .
A integral dupla para a área fica assim:

Passo 4

Vamos calcular a integral:
  1. Integramos em relação a :
  2. Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A área da região delimitada pelas equações , e é unidades de área.

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