Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e a che sua área utilizando uma ou mais integrais duplas.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício que pede para esboçar a região delimitada por três linhas:
,
e
. Além disso, precisamos encontrar a área dessa região usando integrais duplas. Vamos precisar entender um pouco sobre geometria analítica para encontrar os pontos de interseção dessas linhas e, depois, aplicar o cálculo de integrais duplas para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas linhas se cruzam, isso vai nos ajudar a desenhar a região que queremos. Vamos resolver as equações duas a duas.
-
Interseção de
e : Igualando as duas equações:Subtraindode ambos os lados: Então,. O ponto de interseção é . -
Interseção de
e : Substituindona segunda equação: Então,. O ponto é . -
Interseção de
e : Substituindona segunda equação: Então,. O ponto é .
Agora temos os três pontos de interseção:
,
e
.
Passo 3
Com os pontos de interseção, podemos desenhar a região. Ela é um triângulo formado por esses três pontos. Para calcular a área usando integrais duplas, vamos definir os limites de integração.
Vamos optar por integrar em relação a
primeiro e depois a
. Observando as equações das linhas, vemos que para um dado
,
varia de
até
(já que
e
) até atingir a linha
.
Planejando os limites:
-
varia de 0 a 2 (base do triângulo). - Para cada
, varia de até .
A integral dupla para a área
fica assim:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
-
Integramos em relação a
: -
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A área da região delimitada pelas equações
,
e
é
unidades de área.