Calcule as integrais.
integral0^3 integral-1^0 integral1^2(x+2 y+4 z) d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla:
integral0^3 integral-1^0 integral1^2(x + 2y + 4z) , dx , dy , dz
Aqui, estamos calculando a integral de uma função de três variáveis , e sobre um volume definido pelos limites de integração. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando por , depois e finalmente .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral1^2 (x + 2y + 4z) , dx em relação a [ 12x^2 + 2y x + 4z x ]1^2 , de 12(2)^2 + 2y(2) + 4z(2) = 2 + 4y + 8z a 12(1)^2 + 2y(1) + 4z(1) = 0.5 + 2y + 4z :
(2 + 4y + 8z) - (0.5 + 2y + 4z) = 1.5 + 2y + 4z
A integral de 1.5 + 2y + 4z em relação a é , e como e são constantes nessa integração, eles permanecem multiplicando . Então:
Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo os resultados:
Então, após integrar em relação a , a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar essa nova expressão em relação a integral-1^0 (1.5 + 2y + 4z) , dy , de [ 1.5y + y^2 + 4z y ]-1^0 a 1.5(0) + (0)^2 + 4z(0) = 0 :
1.5(-1) + (-1)^2 + 4z(-1) = -1.5 + 1 - 4z = -0.5 - 4z
A integral de 0 - (-0.5 - 4z) = 0.5 + 4z em relação a 0.5 + 4z é , e a integral de é . é constante em relação a , então a integral é . Assim:
Substituindo os limites:
Para :
Para :
Subtraindo os resultados:
Então, após integrar em relação a , a expressão fica:

Passo 4

Por fim, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^3 (0.5 + 4z) , dz , de [ 0.5z + 2z^2 ]0^3 a 0.5(3) + 2(3)^2 = 1.5 + 18 = 19.5 :
0.5(0) + 2(0)^2 = 0
A integral de 19.5 - 0 = 19.5 em relação a é , e a integral de é . Assim:
Substituindo os limites:
Para :
Para :
Subtraindo os resultados:

Resposta

O valor da integral tripla é 19,5.

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