Calcule as integrais:
(a) integral ln (1+x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral ln(1+x) , dx. O que a gente vai precisar aqui é usar uma técnica chamada integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções. Basicamente, vamos separar a integral em duas partes que conseguimos integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da integral vão ser nosso u e nosso dv. Neste caso, é legal escolher u = ln(1+x) Rightarrow du = 11+x , dx porque a derivada dele fica mais simples. Então, temos:
dv = dx Rightarrow v = x
E para o dv, fica:

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que escolhemos:
integral ln(1+x) , dx = x cdot ln(1+x) - integral x cdot 11+x , dx

Passo 4

Vamos simplificar a integral que ficou. O que temos agora é:
integral x1+x , dx
Podemos simplificar essa fração dividindo x1+x = 1 - 11+x por integral x1+x , dx = integral (1 - 11+x) , dx = integral 1 , dx - integral 11+x , dx :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1 , dx = x
integral 11+x , dx = ln(1+x)
Então, juntando tudo:
integral x1+x , dx = x - ln(1+x) + C

Passo 6

Voltando à nossa fórmula inicial da integração por partes:
integral ln(1+x) , dx = x cdot ln(1+x) - ( x - ln(1+x) ) + C
Simplificando:
integral ln(1+x) , dx = (x + 1) cdot ln(1+x) - x + C

Resposta

integral ln(1+x) , dx = (x + 1) ln(1+x) - x + C

Exercícios relacionados

Calcule utilizando o método da integração por partes.
(f) integral cos ^2 x d x
Calcule, usando o método da substituição:
(v) integral sen xcos ^5 x d x
Calcule as integrais:
(g) integral e^x-e^-x2 d x
Calcule as integrais:
(j) integral x(x^2+5)^3 / 4 d x