Calcule, usando o método da substituição:
(v) integral sen xcos ^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é super útil quando temos uma parte da expressão que se parece com a derivada de outra parte. Aqui, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre derivadas e integrais básicas para fazer a substituição funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar as coisas. Observando a integral , percebemos que o numerador, , é a derivada de (porque ).

Passo 3

Vamos chamar du = -sen x , dx Rightarrow -du = sen x , dx . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo integral sen xcos^5 x , dx = integral -duu^5 = -integral u^-5 , du e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (onde n neq -1) . A regra de integração para potências de - integral u^-5 , du = -( u^-4-4 ) + C = u^-44 + C é:
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original u^-44 + C = 14 cos^4 x + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

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(f) integral cos ^2 x d x
Calcule as integrais:
(a) integral ln (1+x) d x