Calcule as integrais:
(j) integral x(x^2+5)^3 / 4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício pertence à área de cálculo, mais especificamente à técnica de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para facilitar a resolução. Observando o denominador u = x^2 + 5 , notamos que a expressão parece uma boa candidata para substituição. Vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em termos de x , dx = du2 . Derivando ambos os lados em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral x(x^2+5)^3 / 4 dx = integral 1u^3/4 cdot du2 = 12 integral u^-3/4 du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 integral u^-3/4 du = 12 cdot u^-3/4 + 1-3/4 + 1 + C = 12 cdot u^1/41/4 + C em relação a . A integral de é dada por , desde que :

Passo 6

Simplificando a expressão:
12 cdot u^1/41/4 = 12 cdot 4 u^1/4 = 2 u^1/4
Agora, substituímos 2 (x^2 + 5)^1/4 + C de volta para :

Resposta

A integral 2 (x^2 + 5)^1/4 + C é igual a:

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