Calcule utilizando o método da integração por partes.
(f) integral cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral de usando o método da integração por partes. Vamos precisar entender como funciona a integração por partes e aplicar algumas identidades trigonométricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher e de maneira que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos fazer as seguintes escolhas:
u = cos x Rightarrow du = -sin x , dx
dv = cos x , dx Rightarrow v = integral cos x , dx = sin x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral cos^2 x , dx = u cdot v - integral v , du
= cos x cdot sin x - integral sin x cdot (-sin x) , dx
= cos x cdot sin x + integral sin^2 x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral sin^2 x = 1 - cos^2 x . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
integral sin^2 x , dx = integral (1 - cos^2 x) , dx = integral 1 , dx - integral cos^2 x , dx
Então:
= x - integral cos^2 x , dx

Passo 6

Substituindo de volta na equação anterior:
integral cos^2 x , dx = cos x cdot sin x + ( x - integral cos^2 x , dx )
= cos x cdot sin x + x - integral cos^2 x , dx
Agora, vamos chamar I = cos x cdot sin x + x - I de :

Passo 7

Somando 2I = cos x cdot sin x + x dos dois lados da equação:
I = 12 (cos x cdot sin x + x) + C
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

integral cos^2 x , dx = 12 ( sin x cos x + x ) + C

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