Calcule integrais integral ln |cos x| tan x d x.

Passo 1

Estamos aqui para calcular a integral integral ln |cos x| tan x , dx. Vamos usar técnicas de substituição e entender como as funções trigonométricas interagem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que possa simplificar a integral. Observando que tan x = sin xcos x e temos ln |cos x|, uma boa substituição é deixar u = ln |cos x|.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir na integral. Calculando:
dudx = ddx ln |cos x| = -sin xcos x = -tan x

Passo 4

Rearranjando a expressão da derivada, temos:
du = -tan x , dx Rightarrow -du = tan x , dx

Passo 5

Agora, substituímos u e du na integral original:
integral ln |cos x| tan x , dx = integral u cdot tan x , dx = integral u cdot (-du) = -integral u , du

Passo 6

A partir daqui, basta integrar u em relação a u:
-integral u , du = -u^22 + C
Substituindo u de volta para ln |cos x|:
-(ln |cos x|)^22 + C

Resposta

A integral é igual a -12 ln^2 |cos x| + C.

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