Resolva as equações diferenciais d y/d x = e^(y+x),

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial d y/d x = e^(y+x). Esse exercício pertence ao estudo das equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis y e x para conseguir integrar cada lado separadamente. A equação dada é:
Podemos reescrever o lado direito da equação usando propriedades dos expoentes:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, queremos separar os termos que envolvem y dos que envolvem x. Vamos dividir ambos os lados por e^y:
Isso nos permite escrever:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral:
A integral de é .
A integral de é .

Passo 5

Escrevendo as soluções das integrais:
Onde C �� uma constante que engloba .

Passo 6

Para achar y em função de x, vamos resolver a equação para y:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Onde .
Então, temos:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por -1:
Podemos renomear como constante C para simplificar:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde C é uma constante.

Exercícios relacionados