Resolva as equações diferenciais
,
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse exercício pertence ao estudo das equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis
e
para conseguir integrar cada lado separadamente. A equação dada é:
Podemos reescrever o lado direito da equação usando propriedades dos expoentes:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, queremos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Vamos dividir ambos os lados por
:
Isso nos permite escrever:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral:
A integral de
é
.
A integral de
é
.
Passo 5
Escrevendo as soluções das integrais:
Onde
�� uma constante que engloba
.
Passo 6
Para achar
em função de
, vamos resolver a equação para
:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Onde
.
Então, temos:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por
:
Podemos renomear
como constante
para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.