Resolva as equações diferenciais homogêneas x dy/dx = y(ln |y| - ln |x|),

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea dada: .
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde todos os termos são de mesmo grau. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de substituição e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reescrever o lado direito usando propriedades dos logaritmos:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja , o que implica que .
Diferenciando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Podemos dividir ambos os lados por (assumindo ):
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis. Reescrevendo a equação:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito é fácil:

Passo 8

Para a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição:
Seja , então .
Então, a integral se torna:

Passo 9

Igualando as integrais:
Podemos simplificar removendo os logs:
Onde é uma constante.

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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