Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea dada: .
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde todos os termos são de mesmo grau. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de substituição e separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reescrever o lado direito usando propriedades dos logaritmos:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja , o que implica que .
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Podemos dividir ambos os lados por (assumindo ):
Subtraindo de ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis. Reescrevendo a equação:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito é fácil:
Passo 8
Para a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição: