Calcule as integrais
integral sec (5 x) d x
Dica: multiplique e divida por sec (5 x)+tan (5 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de sec(5x) em relação a x. Isso está dentro do ramo de Cálculo Integral, especificamente lidando com funções trigonométricas. Para resolver, vamos seguir a dica que é multiplicar e dividir por sec(5x) + tan(5x).

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar e dividir a função por sec(5x) + tan(5x). Isso pode parecer estranho, mas vai facilitar a integração depois. Então, temos:
integral sec(5x) , dx = integral sec(5x) cdot (sec(5x) + tan(5x))sec(5x) + tan(5x) , dx

Passo 3

Agora, vamos expandir o numerador:
integral sec^2(5x) + sec(5x)tan(5x)sec(5x) + tan(5x) , dx

Passo 4

Para simplificar a integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar:
u = sec(5x) + tan(5x)
Agora, derivamos u em relação a x:
dudx = 5sec(5x)tan(5x) + 5sec^2(5x) = 5(sec^2(5x) + sec(5x)tan(5x))

Passo 5

Rearranjando, temos:
sec^2(5x) + sec(5x)tan(5x) = du5
Substituindo de volta na integral:
integral du5u = 15 integral duu

Passo 6

A integral de 1u , du é o logaritmo natural de u:
15 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a solução da integral é:
15 ln|sec(5x) + tan(5x)| + C

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