(a) Use a propriedade da convolução para expressar a transformada de Fourier da solução da equação integral
em função de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar a propriedade da convolução para achar a transformada de Fourier da solução da equação integral
Aqui, estamos trabalhando com Transformada de Fourier e Convolução, então vamos precisar entender como essas ferramentas funcionam juntas para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a integral dada é uma convolução. A convolução de duas funções e é definida como:
No nosso caso, , então podemos reescrever a equação como:

Passo 3

A próxima parada é usar a propriedade da transformada de Fourier que diz que a transformada da convolução de duas funções é o produto das transformadas das funções individuais. Em fórmula:
Aplicando isso à nossa equação:
Ou seja:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a transformada de Fourier de . Sabemos que:
Então, substituindo de volta na equação:

Passo 5

Por último, queremos isolar . Basta dividir os dois lados da equação pela transformada de :

Resposta

A transformada de Fourier da solução é

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