(a) Use a propriedade da convolução para expressar a transformada de Fourier da solução
da equação integral
em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar a propriedade da convolução para achar a transformada de Fourier da solução
da equação integral
Aqui, estamos trabalhando com Transformada de Fourier e Convolução, então vamos precisar entender como essas ferramentas funcionam juntas para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a integral dada é uma convolução. A convolução de duas funções
e
é definida como:
No nosso caso,
, então podemos reescrever a equação como:
Passo 3
A próxima parada é usar a propriedade da transformada de Fourier que diz que a transformada da convolução de duas funções é o produto das transformadas das funções individuais. Em fórmula:
Aplicando isso à nossa equação:
Ou seja:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a transformada de Fourier de
. Sabemos que:
Então, substituindo de volta na equação:
Passo 5
Por último, queremos isolar
. Basta dividir os dois lados da equação pela transformada de
:
Resposta
A transformada de Fourier da solução
é
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