(a) Use a propriedade da convolução para expressar a transformada de Fourier da solução u da equação integral
integral-infty^infty e^-|x-z| u(z) d z=f(x)
em função de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar a propriedade da convolução para achar a transformada de Fourier da solução integral-infty^infty e^-|x-z| u(z) , dz = f(x) da equação integral
Aqui, estamos trabalhando com Transformada de Fourier e Convolução, então vamos precisar entender como essas ferramentas funcionam juntas para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a integral dada é uma convolução. A convolução de duas funções (g * u)(x) = integral-infty^infty g(x - z) u(z) , dz e (e^-|x| * u)(x) = f(x) é definida como:
No nosso caso, , então podemos reescrever a equação como:

Passo 3

A próxima parada é usar a propriedade da transformada de Fourier que diz que a transformada da convolução de duas funções é o produto das transformadas das funções individuais. Em fórmula:
Fg * u = Fg cdot Fu
Aplicando isso à nossa equação:
Fe^-|x| cdot Fu = Ff
Ou seja:
g(k) cdot u(k) = f(k)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a transformada de Fourier de Fe^-|x| = 21 + k^2 . Sabemos que:
21 + k^2 cdot u(k) = f(k)
Então, substituindo de volta na equação:

Passo 5

Por último, queremos isolar u(k) = f(k)21 + k^2 = 1 + k^22 cdot f(k) . Basta dividir os dois lados da equação pela transformada de :

Resposta

A transformada de Fourier da solução u(k) = 1 + k^22 cdot f(k) é

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