Calcule as integrais integral-pi^pi sen(3 theta) cos (theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de sin(a)cos(b) = 12 [sin(a + b) + sin(a - b)] e sin(3theta)cos(theta) = 12 [sin(3theta + theta) + sin(3theta - theta)] = 12 [sin(4theta) + sin(2theta)] :
Aplicando essa identidade no nosso caso, onde e , temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral-pi^pi sin(3theta)cos(theta) dtheta = 12 integral-pi^pi [sin(4theta) + sin(2theta)] dtheta
Podemos separar essa integral em duas partes:
12 ( integral-pi^pi sin(4theta) dtheta + integral-pi^pi sin(2theta) dtheta )

Passo 4

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Primeiro, a integral de integral-a^a sin(ntheta) dtheta = 0 de integral-pi^pi sin(4theta) dtheta = 0 a integral-pi^pi sin(2theta) dtheta = 0 :
Isso acontece porque a função seno é ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em relação à origem é zero.
Então:
e

Passo 5

Somando os dois resultados:
12 (0 + 0) = 0

Resposta

A integral é igual a .

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