Calcule as integrais integral1^e^3 (ln (x))^2x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente integrando funções que envolvem o logaritmo natural. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição, que facilita o cálculo quando temos uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja du = 1x dx . Para encontrar integral (ln (x))^2x dx = integral u^2 du , derivamos em relação a :
Observamos que na nossa integral original temos , que é exatamente . Então, podemos reescrever a integral em termos de :

Passo 3

Agora, a integral ficou mais simples: integral u^n du = u^n+1n+1 + C . Sabemos que a integral de integral u^2 du = u^33 + C em relação a é:
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Voltando à variável original u^33 + C = (ln(x))^33 + C , já que fizemos a substituição , substituímos na expressão acima:

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida de ln(e^3) = 3 (3)^33 = 273 = 9 até ln(1) = 0 (0)^33 = 0 , precisamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :

Resposta

Subtraindo os valores nos limites, a integral vale .

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