Calcule as integrais

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente integrando funções que envolvem o logaritmo natural. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição, que facilita o cálculo quando temos uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja . Para encontrar , derivamos em relação a :
Observamos que na nossa integral original temos , que é exatamente . Então, podemos reescrever a integral em termos de :

Passo 3

Agora, a integral ficou mais simples: . Sabemos que a integral de em relação a é:
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Voltando à variável original , já que fizemos a substituição , substituímos na expressão acima:

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida de até , precisamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :

Resposta

Subtraindo os valores nos limites, a integral vale .

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Dada a função , faça o que se pede: Determine a área do retângulo do item anterior
Encontre a derivada . Simplique quando possíve 1
f)
Encontre a derivada . Simplique quando possíve 1
b)