Calcule as integrais
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente integrando funções que envolvem o logaritmo natural. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição, que facilita o cálculo quando temos uma função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Para encontrar
, derivamos
em relação a
:
Observamos que na nossa integral original temos
, que é exatamente
. Então, podemos reescrever a integral em termos de
:
Passo 3
Agora, a integral ficou mais simples:
. Sabemos que a integral de
em relação a
é:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Voltando à variável original
, já que fizemos a substituição
, substituímos
na expressão acima:
Passo 5
Como estamos lidando com uma integral definida de
até
, precisamos calcular os valores nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Resposta
Subtraindo os valores nos limites, a integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
Dada a função
, faça o que se pede: Determine a área do retângulo do item anterior
Encontre a derivada
. Simplique quando possíve 1
f)
f)
Encontre a derivada
. Simplique quando possíve 1
b)
b)