Calcule as integrais: integral raiz9-x^2x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e integração de funções envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, já que temos a expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a raiz quadrada para facilitar a substituição. Sabemos que x = 3 sin theta pode ser relacionado a uma identidade trigonométrica. Para isso, vamos usar a substituição:
Isso significa que é um ângulo tal que varia de acordo com o seno desse ângulo.

Passo 3

Com a substituição dx = 3 cos theta , dtheta , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Agora, vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral raiz9 - x^2x^2 , dx = integral raiz9 - 9 sin^2 theta9 sin^2 theta cdot 3 cos theta , dtheta
Simplificando a raiz quadrada:
raiz9 - 9 sin^2 theta = 3 cos theta
Portanto, a integral fica:
integral 3 cos theta9 sin^2 theta cdot 3 cos theta , dtheta = integral 9 cos^2 theta9 sin^2 theta , dtheta = integral cos^2 thetasin^2 theta , dtheta

Passo 5

A expressão cos^2 thetasin^2 theta = cot^2 theta pode ser reescrita usando identidades trigonométricas:
integral cot^2 theta , dtheta = -cot theta - theta + C
Sabemos que a integral de é conhecida:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original x = 3 sin theta . Lembrando que:
sin theta = x3
Então:
cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - (x3)^2 = raiz9 - x^23
E:
Também, .
Além disso, .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da integral:
-cot theta - theta + C = -raiz9 - x^2x - arcsin(x3) + C

Resposta

Portanto, a integral -raiz9 - x^2x - arcsin(x3) + C é igual a:

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