Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e integração de funções envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, já que temos a expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a raiz quadrada para facilitar a substituição. Sabemos que pode ser relacionado a uma identidade trigonométrica. Para isso, vamos usar a substituição:
Isso significa que é um ângulo tal que varia de acordo com o seno desse ângulo.

Passo 3

Com a substituição , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Agora, vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
Simplificando a raiz quadrada:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

A expressão pode ser reescrita usando identidades trigonométricas:
Sabemos que a integral de é conhecida:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que:
Então:
E:
Também, .
Além disso, .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da integral:

Resposta

Portanto, a integral é igual a:

Exercícios relacionados

Determine os limites abaixo:
x)
Determine os limites abaixo:
o)
Seja a região delimitada pelas curvas e . Represente a região geometricamente e calcule sua área.
Considerando as funções dadas abaixo,
(g) . Pede-se:
iv. Calcular e .