Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral
. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e integração de funções envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, já que temos a expressão
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a raiz quadrada para facilitar a substituição. Sabemos que
pode ser relacionado a uma identidade trigonométrica. Para isso, vamos usar a substituição:
Isso significa que
é um ângulo tal que
varia de acordo com o seno desse ângulo.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Agora, vamos substituir
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Simplificando a raiz quadrada:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
A expressão
pode ser reescrita usando identidades trigonométricas:
Sabemos que a integral de
é conhecida:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que:
Então:
E:
Também,
.
Além disso,
.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da integral:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Determine os limites abaixo:
x)
x)
Determine os limites abaixo:
o)
o)
Seja
a região delimitada pelas curvas
e
. Represente a região
geometricamente e calcule sua área.
Considerando as funções dadas abaixo,
(g) . Pede-se:
iv. Calcular e
.
(g)
iv. Calcular