Seja a região delimitada pelas curvas e . Represente a região geometricamente e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar geometricamente a região delimitada pelas curvas , , e . Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções trigonométricas e integração para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada uma dessas curvas representa:
  • : Essa é a função seno, que gera uma onda que oscila entre -1 e 1.
  • : Essa é a linha do eixo x.
  • e : São linhas verticais que vão cortar o gráfico em valores específicos de x.
Vamos esboçar o gráfico para visualizar a região . A região está entre e , debaixo da curva do seno e acima do eixo x.

Passo 3

Agora, para calcular a área dessa região, vamos usar a integral definida. A integral definida nos dá a área sob a curva de uma função entre dois limites.
A fórmula da integral definida é:
Á
No nosso caso, , e .

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Á
A antiderivada de é , então:
Á

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores:
Sabemos que:
Substituindo na expressão:
Á

Resposta

A área da região é 1.

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Calcule as integrais:
Determine os limites abaixo:
x)
Considerando as funções dadas abaixo,
(g) . Pede-se:
iv. Calcular e .
Calcule .