Seja
a região delimitada pelas curvas
e
. Represente a região
geometricamente e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar geometricamente a região
delimitada pelas curvas
,
,
e
. Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções trigonométricas e integração para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada uma dessas curvas representa:
-
: Essa é a função seno, que gera uma onda que oscila entre -1 e 1. -
: Essa é a linha do eixo x. -
e : São linhas verticais que vão cortar o gráfico em valores específicos de x.
Vamos esboçar o gráfico para visualizar a região
. A região está entre
e
, debaixo da curva do seno e acima do eixo x.
Passo 3
Agora, para calcular a área dessa região, vamos usar a integral definida. A integral definida nos dá a área sob a curva de uma função entre dois limites.
A fórmula da integral definida é:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
A antiderivada de
é
, então:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores:
Sabemos que:
Substituindo na expressão:
Resposta
A área da região
é 1.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
Determine os limites abaixo:
x)
x)
Considerando as funções dadas abaixo,
(g) . Pede-se:
iv. Calcular e
.
(g)
iv. Calcular
Calcule
.