Calcule as integrais.
integral raiz9 x^2-4x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral ! Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções algébricas com radicais. Para resolver, vamos precisar usar substituição algébrica e simplificação de expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar de u = raiz9x^2 - 4 a parte que está dentro da raiz quadrada:

Passo 3

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
u^2 = 9x^2 - 4

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados em relação a 2u cdot dudx = 18x para encontrar dudx = 18x2u = 9xu :
dx = u9x , du
Dividindo ambos os lados por :
Então:

Passo 5

Substituindo integral raiz9x^2 - 4x , dx = integral ux cdot u9x , du = integral u^29x^2 , du e na integral original:

Passo 6

Vamos expressar 9x^2 = u^2 + 4 implies x^2 = u^2 + 49 em termos de integral u^29 cdot u^2 + 49 , du = integral u^2u^2 + 4 , du a partir da equação :
Substituindo isso na integral:

Passo 7

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
u^2u^2 + 4 = 1 - 4u^2 + 4
Então, a integral fica:
integral (1 - 4u^2 + 4) , du = integral 1 , du - 4 integral 1u^2 + 4 , du

Passo 8

Vamos resolver cada parte da integral separadamente:
integral 1 , du = u
E para a segunda parte, reconhecemos que 4 integral 1u^2 + 4 , du = 4 cdot 12 arctan(u2) = 2 arctan(u2) . Aqui, :

Passo 9

Juntando as partes, a solução da integral é:
u - 2 arctan(u2) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Por último, substituímos u = raiz9x^2 - 4 de volta em termos de raiz9x^2 - 4 - 2 arctan(raiz9x^2 - 42) + C :
Então, a resposta final fica:

Resposta

A integral raiz9x^2 - 4 - 2 arctan(raiz9x^2 - 42) + C �� igual a:
onde é a constante de integração.

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